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Rendimiento de dos máquinas de Carnot consecutivas Primera Convocatoria Ordinaria 2010/11 (F2GIA)

De Laplace

1 Enunciado

Se tienen dos máquinas térmicas de Carnot dispuestas una a continuación de la otra (T1 > T2 > T3). El calor que cede al foco frío la primera máquina es el doble de la que obtiene del foco caliente la segunda máquina, como se indica en el esquema. ¿Cuál es el máximo rendimiento global que puede obtenerse del conjunto de las dos máquinas, expresado en función de las temperaturas de los focos térmicos?

2 Solución

El rendimiento es, por definición, lo que queremos obtener dividido por lo que nos cuesta. En este caso lo que obtenemos es la suma de los trabajos de las dos máquinas. Lo que nos cuesta es el calor que hay que suministrar a la máquina A. Es decir


\eta_{T} = \frac{|W_A| + |W_B|}{|Q_1|}

El rendimiento de la máquina A es


\eta_A = \frac{|W_A|}{|Q_1|} = 1-\frac{T_2}{T_1}

De aquí obtenemos


|W_A| = \eta_A\,|Q_1| = \left(1-\frac{T_2}{T_1}\right)\,|Q_1|

El rendimiento de la máquina B es


\eta_B = \frac{2|W_B|}{|Q_2|} = 1-\frac{T_3}{T_2}

Buscamos relacionar | Q2 | con | Q1 | . Para ello aplicamos el Primer Principio de la Termodinámica a la máquina B. Al trabajar en un ciclo tenemos


|Q_1| - |Q_2| = |W_A| \Longrightarrow
|Q_2| = |Q_1| - |W_A| = |Q_1| - \eta_A\,|Q_1| = (1-\eta_A)\,|Q_1|

Sustituyendo en la expresión anterior tenemos


|W_B| = \frac{1}{2}\,\eta_B\,|Q_2| = \frac{1}{2}\,\eta_B\,(1-\eta_A)\,|Q_1|

Sumando las expresiones para los dos trabajos llegamos a


|W_A| + |W_B| = \left(\eta_A + \frac{1}{2}\,\eta_B\,(1-\eta_A)\right)\,|Q_1|

El rendimiento total es


\eta_T = \frac{|W_A| + |W_B|}{|Q_1|} =
\eta_A + \frac{1}{2}\,\eta_B\,(1-\eta_A)

Sustituyendo las expresiones de los rendimientos en función de las temperaturas tenemos


\eta_T = 1-\frac{T_2+T_3}{2\,T_1}

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