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Rendimiento de aparatos hipotéticos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un inventor mantiene que ha desarrollado una máquina térmica que recibe 700 kJ de calor desde un foco térmico a 500 K y produce 300 kJ de trabajo neto transfiriendo el calor sobrante a un foco térmico a 290 K. ¿Es razonable?

Nuestro inventor vuelve a la carga, esta vez con un refrigerador que, asegura, mantiene el espacio refrigerado a 2°C mientras el ambiente se encuentra a 24°C, teniendo una eficiencia de 13.5. ¿Le hacemos caso?

2 Motor hipotético

2.1 A partir del teorema de Carnot

El rendimiento de la supuesta máquina inventada es

\eta = \frac{|W|}{|Q_c|} = \frac{300\,\mathrm{kJ}}{700\,\mathrm{kJ}} = \frac{3}{7} = 42.9\%

De acuerdo con el teorema de Carnot, el rendimiento máximo posible es el de una máquina de Carnot que trabaje entre las dos temperaturas indicadas. Este es

\eta_\mathrm{max} = 1-\frac{T_f}{T_c} = 1 - \frac{290\,\mathrm{K}}{500\,\mathrm{K}} = \frac{21}{50} = 42.0\%

Puesto que el rendimiento alegado es superior al máximo posible, concluimos que la invención es fraudulenta.

2.2 Empleando la desigualdad de Clausius

Una forma equivalente de llegar al resultado anterior es partiendo de la desigualdad de Clausius, que nos dice que, en todo proceso cíclico

\oint \frac{\mathrm{d}Q}{T} \leq 0

En el caso particular de un ciclo que opere solamente entre dos temperaturas, esta desigualdad se transforma en

\oint \frac{\mathrm{d}Q}{T} = \frac{Q_c}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f} \leq 0

A partir de los datos proporcionados por el inventor tenemos

Q_c = 700\,\mathrm{kJ}        T_c=500\,\mathrm{K}        |Q_f| = |Q_c|-|W| = 400\,\mathrm{kJ}        Q_f = -400\,\mathrm{kJ}        T_f = 290\,\mathrm{K}

Sustituyendo todo esto

\frac{Q_c}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f} = \frac{700\,\mathrm{kJ}}{500\,\mathrm{K}}-\frac{400\,\mathrm{kJ}}{290\,\mathrm{K}}=20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}>0

que viola la desigualdad de Clausius y nos permite rechazar el invento.

2.3 A partir de la variación en la entropía

Otra forma de descartar el invento es calculando la variación en la entropía del universo. Matemáticamente los cálculos son casi idénticos a los que acabamos de hacer, pero su interpretación es distinta.

La variación de entropía del universo es la suma de la del sistema más la del ambiente.

\Delta S_u = \Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}\,

La variación de la entropía del sistema es nula, por ser la entropía una función de estado y desarrollar la máquina un proceso cíclico.

\Delta S_\mathrm{sis} = 0\,        (proceso cíclico)

La variación en el ambiente es doble. Por un lado se reduce la entropía del foco caliente, puesto que se saca calor de él (a una temperatura Tc), y por otro se aumenta la del foco frío, al que se entrega calor (a una temperatura Tf).

\Delta S_\mathrm{amb}=-\frac{|Q_c|}{T_c}+\frac{|Q_f|}{T_f}

Sustituyendo los valores

T_c = 500\,\mathrm{K}        Q_c = 700\,\mathrm{kJ}        T_f = 290\,\mathrm{K}        |Q_f| = 400\,\mathrm{kJ}

queda la variación de entropía

\Delta S_\mathrm{amb}= -\frac{700\,\mathrm{kJ}}{500\,\mathrm{K}}+\frac{400\,\mathrm{kJ}}{290\,\mathrm{K}}=-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}

La variación de entropía del universo será

\Delta S_u = \Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}=0\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}<0

Este resultado significa que la supuesta máquina reduce la entropía del universo, lo cual es imposible.

3 Refrigerador hipotético

Para el caso de los refrigeradores, en lugar del rendimiento se usa el coeficiente de desempeño (COP, por las siglas de “coefficient of performance”), que se define usando el mismo principio que para el rendimiento:

\mathrm{COP} = \frac{\mbox{lo que se obtiene}}{\mbox{lo que cuesta}}

donde en este caso “lo que se obtiene” es la extracción de un calor | Qf | del foco frío y “lo que cuesta” es el trabajo necesario para hacer funcionar el refrigerador:

\mathrm{COP} = \frac{|Q_f|}{|W|}

A diferencia del rendimiento, el COP sí puede ser mayor que la unidad. Puesto que, por el primer principio el trabajo realizado por el sistema es la diferencia entre el calor que entra y el calor que sale, podemos expresar el COP en función del calor solamente

\mathrm{COP} = \frac{|Q_f|}{|Q_c|-|Q_f|} = \frac{1}{\displaystyle\frac{|Q_c|}{|Q_f|}-1}

Como con el rendimiento de las máquinas térmicas, existe un límite al coeficiente de desempeño de un refrigerador. Este límite lo da un refrigerador de Carnot, que es una máquina de Carnot a la que, por ser reversible, se ha hecho funcionar en sentido inverso. El COP de un refrigerador de Carnot es

\mathrm{COP}_\mathrm{max} =\frac{1}{\displaystyle\frac{|Q_c|}{|Q_f|}-1} = \frac{1}{\displaystyle\frac{T_c}{T_f}-1}

Para los datos del enunciado

\mathrm{COP}_\mathrm{max} = \frac{1}{\displaystyle\frac{297\,\mathrm{K}}{275\,\mathrm{K}}-1} = \frac{25}{2}=12.5

puesto que la eficiencia alegada es de 13.5, superior a la máxima, concluimos que esta invención también es fraudulenta.

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