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Remaches de aluminio en aviones

De Laplace

1 Enunciado

Los remaches de aluminio para construcción de aviones se fabrican un poco más grandes que los agujeros donde han de insertarse y se enfrían con hielo seco (CO2 sólido) antes de instalarse. Si el diámetro de un agujero es 4.500 mm, ¿qué diámetro debe tener un remache a 23.0o C para que su diámetro sea igual al del orificio cuando se enfría hasta -78.0oC, que es la temperatura del hielo seco? Suponga que el coeficiente de dilatación lineal del aluminio es constante y vale \alpha= 24.0\times10^{-6}(\mathrm{^oC})^{-1}

2 Solución

Llamemos D1 al diámetro inicial del remache a T1 = 23oC. Entonces la sección inicial del remache es


A_1 = \pi D_1^2/4

Queremos que su diámetro sea D_2=4.500\,\mathrm{mm} a la temperatura de T2 = − 78oC. Por tanto, la sección a esa temperatura será


A_2 = \pi D_2^2/4

Dado el coeficiente de dilatación líneal del aluminio, \alpha=24.0\times10^{-6}\mathrm{(^oC)^{-1}} , la relación entre las secciones es


\displaystyle A_2 = A_1(1+2\alpha\Delta T) \Rightarrow \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi D_1^2}{4}\left(1+2\alpha\Delta T\right)

La relación entre diámetros es


D_2 = D_1\sqrt{1+2\alpha\Delta T}

Como \alpha\Delta T\ll1 podemos usar el desarrollo de Taylor (1+x)^n\simeq 1 + nx para obtener


D_2 \simeq D_1(1+\alpha\Delta T)

Hay que señalar que llegaríamos a este mismo resultado si hubiéramos buscado desde el principio la variación del diámetro del remache.

La incógnita es D1, el diámetro del remache a la temperatura T1. Entonces


D_1 = \frac{D_2}{1+\alpha\Delta T} = \frac{4.500\,\mathrm{mm}}{\displaystyle 1 + 24\times10^{-6}\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \mathrm{^oC}}(-78-23)\mathrm{^oC}}=4.511\,\mathrm{mm}

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