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Relación entre los distintos sistemas de coordenadas

De Laplace

Contenido

1 Entre cartesianas y cilíndricas

Con un poco de trigonometría se puede establecer la relación entre los tres sistemas. Entre cartesianas y esféricas tenemos que la coordenada z, es la misma,
z = z\,

mientras que las coordenadas x\, e y\, constituyen los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa \rho\,, por lo que

x = \rho\cos{\varphi} \qquad y = \rho\mathrm{sen}\,\varphi

De aquí se tienen las relaciones inversas

\rho = \sqrt{x^2+y^2}\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)\qquad z = z

2 Entre cilíndricas y esféricas

Empleando de nuevo trigonometría podemos pasar de esféricas a cilíndricas. En primer lugar, la coordenada \varphi es la misma en los dos sistemas. El resto de coordenadas se relacionan mediante un nuevo triángulo rectángulo

\rho = r\,\mathrm{sen}\,\theta\qquad z = r\,\cos\theta\qquad {\varphi} = {\varphi}

y con las correspondientes relaciones inversas

r = \sqrt{\rho^2+z^2}\qquad \theta= \mathrm{arctg}\left(\frac{\rho}{z}\right)\qquad \varphi = \varphi

3 Entre cartesianas y esféricas

Combinando las relaciones anteriores obtenemos el paso de esféricas a cartesianas.

x = r\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi\qquad y = r\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{sen}\,\varphi\qquad z = r\cos\theta

y sus correspondientes relaciones inversas

r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\qquad \theta = \mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)

4 Algunos ejemplos numéricos

4.1 De cartesianas a otros sistemas

Supongamos que debemos dar las coordenadas cilíndricas y esféricas del punto dado, en cartesianas, por

x=2\,\mathrm{m}\qquad y=-3\,\mathrm{m}\qquad z=4\,\mathrm{m}

La misma posición, en cilíndricas, se expresa

\rho=\sqrt{x^2+y^2}=3.606\,\mathrm{m}\qquad {\varphi} = \mathrm{arctg}\left(-\frac{3}{2}\right)=-0.983\,\mathrm{rad}\qquad
z=4\,\mathrm{m}

y, en esféricas,

r=\sqrt{\rho^2+z^2}=5.385\,\mathrm{m}\qquad \theta=\mathrm{arctg}\left(\frac{3.606}{4}\right)=0.734\,\mathrm{rad}\qquad {\varphi}= -0.983\,\mathrm{rad}

4.2 De esféricas a otros sistemas

Ahora supongamos que nos dan un punto, en esféricas, de coordenadas

r=3\,\mathrm{m}\qquad \theta=\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}\qquad{\varphi}=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}

Este mismo punto, en cilíndricas, es

\rho=1.5\,\mathrm{m}\qquad {\varphi}=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}\qquad z =2.598\,\mathrm{m}

y en cartesianas

x=1.061\,\mathrm{m}\qquad y = 1.061\,\mathrm{m}\qquad z = 2.598\,\mathrm{m}

Dos detalles importantes:

  • Las coordenadas poseen unidades.
  • El que un punto se exprese de forma sencilla en un sistema no implica que sea simple en otro diferente.

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