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Regla de la cadena para gradientes

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Si \phi = \phi(u)\,, con u = u(\mathbf{r}), demuestre que

\nabla \phi = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u} \nabla u

Encuentre \nabla \phi si

  1. \phi=\ln|\mathbf{r}|\,
  2. \phi =r^n\,
  3. \phi=\frac{1}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}_0|}

2 Solución

2.1 Demostración

Para demostrar esto, recordamos que el gradiente se define como el único vector que, sea cual sea la dirección tomada, la derivada direccional puede calcularse como

\frac{\partial \phi}{\partial v} = \nabla\phi\cdot\mathbf{v}

Por la definición de derivada direccional tenemos que

\frac{\partial \phi}{\partial v} = \frac{\mathrm{d}\phi}{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}

siendo |\mathrm{d}\mathbf{r}| un desplazamiento infinitesimal en la dirección de \mathbf{v}. Si en la expresión anterior multiplicamos y dividimos por du, el incremento en u cuando realizamos dicho desplazamiento, queda

\frac{\partial \phi}{\partial v} = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u}\,\frac{\mathrm{d}u}{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}

El primer factor es la derivada de \phi\, respecto a u, mientras que el segundo es la derivada direccional de u en la dirección de \mathbf{v}, por tanto

\frac{\partial \phi}{\partial v} = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u}\,\nabla u\cdot\mathbf{v}=  \left(\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u}\,\nabla u\right)\cdot\mathbf{v}

pero puesto que \nabla\phi es el único vector que al multiplicarlo por \mathbf{v} nos da la derivada direccional de \phi\, se llega a la conclusión de que

\nabla\phi = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u}\nabla u

2.2 Primer caso

Empleando este teorema es posible calcular multitud de gradientes. Así los correspondientes a los apartados 1 y 2 se pueden obtener a partir del de la función u = r.

Para cualquier potencia de r se tendrá

\nabla(r^n)=\frac{\partial r^n}{\partial r}\nabla r=nr^{n-1}\nabla r

por lo que el problema se reduce a calcular \nabla r. Si aplicamos la fórmula anterior a r2 queda

\nabla\left(r^2\right)=2r\nabla r

pero

\nabla\left(r^2\right)=\nabla\left(x^2+y^2+z^2\right)=
2x\mathbf{u}_{x}+2y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}=2\mathbf{r}

por lo que, igualando las dos expresiones,

2r\nabla r=2\mathbf{r}   \Rightarrow   \nabla r=\frac{\mathbf{r}}{r}

y, para cualquier potencia de r

\nabla\left(r^n\right)=nr^{n-1}\frac{\mathbf{r}}{r}=nr^{n-2}\mathbf{r}

2.3 Segundo caso

Para el caso del logaritmo se tiene

\nabla(\ln r)=\frac{1}{r}\nabla r=\frac{\mathbf{r}}{r^2}

Un método alternativo para estos dos casos es empleando coordenadas esféricas

\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\mathbf{u}_{r}+\frac{1}{r}\,\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\mathbf{u}_{\theta}+
\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\,\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\mathbf{u}_{\varphi}

Para el caso de una función que depende exclusivamente de la distancia al origen (un campo central), el gradiente se reduce a

\nabla\phi(r) = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\mathbf{u}_{r}

que para \phi=r^n\, da

\nabla(r^n)= n r^{n-1} \mathbf{u}_{r} = n r^{n-2}\mathbf{r}

y para \phi=\ln(r)\,

\nabla(\ln(r)) = \frac{1}{r}\mathbf{u}_{r} = \frac{\mathbf{r}}{r^2}

2.4 Tercer caso

Para la última función efectuamos un cálculo análogo, notando que

\nabla |\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^n=n|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^{n-1}\nabla|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|


\nabla|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^2=\nabla\left(\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right){\cdot}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right)\right)
=\nabla\left(r^2-2\mathbf{r}{\cdot}\mathbf{r}_0+\mathbf{r}_0^2\right)

El gradiente del primer término es conocido

\nabla(r^2) = 2\mathbf{r}

El segundo, de acuerdo con lo que se demuestra en un problema de identidades vectoriales

\nabla(2\mathbf{r}{\cdot}\mathbf{r}_0) = 2\mathbf{r}_0

El tercer sumando se anula, por ser un vector constante

\nabla(r_0^2) = \mathbf{0}

Reuniendo los tres términos

\nabla\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right|^2 = 2(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)

y de aquí

\nabla|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0| = \frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}   \Rightarrow    \nabla |\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^n=n|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^{n-2}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)

y, en particular

\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}\right)=
-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_0}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}

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