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Regla de Descartes

De Laplace

1 Enunciado

Siguiendo con el álgebra, Descartes descubrió lo que él llamó la Regla de los Signos que le permitía saber cuantas raíces verdaderas (reales positivas) o falsas (reales negativas) podía tener una ecuación de cualquier grado. Suponía que la ecuación estaba en la forma x2 + bx + c = 0. Descartes indicó que la ecuación tendría como mucho tantas raíces verdaderas como cambios de signo en los coeficientes y tantas raíces falsas como permanencia de signo. (Utilizaba la expresión como mucho para tener en cuenta las posibles raíces no reales de la ecuación). Comprueba esa regla resolviendo las siguientes ecuaciones:

  • x^2+5x+4=0\,
  • x^2-7x+12=0\,;
  • x^3-2x^2-5x+6=0\,

2 Solución

Lo que dice la regla de Descartes es que si cogemos los coeficientes una ecuación, p.ej.

-2x^5 + 7x^4 - 5x^3 - 2x^2 + 6x + 5 = 0\,

y queremos saber cuantas raíces reales tiene deberíamos resolver una ecuación muy complicada pero que puede no tener solución, ni siquiera factorizando.

Lo que hace Descartes es estblecer cuanto es el máximo número de raíces reales positivas (que es lo que el enunciado llama raíces verdaderas) que tiene. Por ejemplo, en esta ecuación de 5º grado hay 5 raíces, pero algunas pueden ser reales y otras complejas.

Así que lo que se hace es listar los coeficientes en el orden de las potencias, empezando por la de mayor grado. En este ejemplo, quedaría

\{-2,7,-5,-2,6,5\}\,

Entonces contamos los cambios de signo, es decir, de cada número al siguiente si cambia el signo o no.

En este ejemplo, hay 3 cambios de signo:

  • De -2 a +7
  • De +7 a -5
  • De -2 a -6

Por tanto la ecuación tiene como máximo tres soluciones reales positivas. Las otras dos (o más) serán reales negativas o complejas

Entonces, de lo que se trata en tu problema es de aplicar este criterio y luego compararlo con las soluciones, que puedes hallar resolviendo la ecuación de segundo grado o por Ruffini.

Te hago el segundo caso:

Tenemos la ecuación

x^2 - 7x + 12 = 0\,

Listamos los coeficientes

\{1,-7,12\}\,

Hay dos cambios de signo (de 1 a -7 y de -7 a 12), por tanto tiene como máximo dos raíces reales positivas.

Comprobación. Hallamos las soluciones de la ecuación

x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{49-4\cdot 12}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}= \left\{\begin{matrix}4 \\ 3\end{matrix}\right.

Vemos que las dos son positivas, luego aquí se cumple el teorema.

Igual para el primero (que no tiene cambios de signo) y para el tercero, que tiene dos cambios de signo.

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