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Pulso gaussiano de tensión

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un condensador con pérdidas formado por dos placas cuadradas de lado L = 20\,\mathrm{cm}, situadas paralelamente a una distancia a = 5\,\mathrm{mm}. Entre ellas se encuentra un material de permitividad relativa \varepsilon_r = 2.6 y conductividad \sigma = 3.4 \times 10^{−4}\mathrm{S}/\mathrm{m}. Una placa se encuentra permanentemente a tierra, mientras que la otra experimenta un pulso de tensión de forma gaussiana

V(t) = V_0\mathrm{e}^{-t^2/T^2}\qquad (-\infty < t < \infty)

con V_0 = 5\,\mathrm{V} y T = 3\,\mathrm{s}.

Para cualquier instante de tiempo, calcule

  1. la distribución de campo eléctrico y de corriente entre las placas. Desprecie los efectos de borde.
  2. la carga en cada una de las placas y la corriente que llega a cada una.
  3. la energía electrostática almacenada, la potencia disipada en el medio, y la potencia desarrollada por el generador.
  4. Calcule igualmente la energía total disipada a lo largo del tiempo, así como el trabajo total realizado por el generador.

Halle el valor numérico de los resultado sólo para el último apartado.

Dato:

\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}

2 Campo y densidad de corriente

En principio tenemos un sistema complicado de ecuaciones diferenciales y relaciones constitutivas

\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}        \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l        \nabla\cdot\mathbf{J}=-\frac{\partial \rho_l}{\partial t}        \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}\qquad\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}

Sin embargo, por tratarse de un medio homogéneo, se cumple que, si no existe la densidad de carga libre es nula en el instante inicial, también lo es en cualquier otro instante

\rho_l=0\,

Por tanto, las ecuaciones se reducen a

\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}        \nabla\cdot\mathbf{D}=0        \nabla\cdot\mathbf{J}=0

que son equivalentes a las de un condensador o una resistencia formada por el material entre dos planos paralelos, siendo su solución

\mathbf{E}=\frac{V(t)}{a}\mathbf{u}_z\qquad\qquad\mathbf{D}=\frac{\varepsilon V(t)}{a}\mathbf{u}_z\qquad\qquad\mathbf{J}=\frac{\sigma V(t)}{a}\mathbf{u}_z

3 Carga e intensidad de corriente

3.1 Carga en las placas

Las placas conductoras almacenan cargas de la misma magnitud y signo opuesto. La carga almacenada en la placa a tensión V(t) la hallamos a partir del flujo del vector desplazamiento

Q=\oint \mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_{S_\mathrm{placa}} \left(\frac{\varepsilon V(t)}{a}\mathbf{u}_z\right)\cdot(\mathrm{d}S\mathbf{u}_z)=\frac{\varepsilon S}{a}V(t)

Esta carga puede también hallarse empleando la capacidad de un condensador.

Q = C(\Delta V)= \frac{\varepsilon S}{a}(V(t)-0) = \frac{\varepsilon S}{a}V_0\mathrm{e}^{-t^2/T^2}

3.2 Intensidad de corriente

De la ley de conservación de la carga se deduce que la corriente que llega por el cable se emplea en parte en variar la carga almacenada y en parte se escapa a través del material

I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}+\int \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

El flujo de la densidad de corriente es análogo al del vector desplazamiento calculado en el apartado anterior

\oint \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_{S_\mathrm{placa}} \left(\frac{\sigma V(t)}{a}\mathbf{u}_z\right)\cdot(\mathrm{d}S\mathbf{u}_z)=\frac{\sigma S}{a}V(t)

o, en términos de la resistencia o la conductancia del elemento

\oint \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=G\,\Delta V = \frac{\Delta V}{R}=\frac{V_0}{R}\mathrm{e}^{-t^2/T^2}

La variación de la carga almacenada la hallamos derivando el resultado de la sección anterior

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}(\Delta V))}{\mathrm{d}t}=-2\frac{CV_0t}{T^2}\mathrm{e}^{-t^2/T^2}

Sumando los dos términos

I = C\frac{\mathrm{d}(\Delta V)}{\mathrm{d}t}+\frac{\Delta V}{R}=\left(-2\frac{Ct}{T^2}+\frac{1}{R}\right)V_0\mathrm{e}^{-t^2/T^2}

4 Balance energético

4.1 Energía almacenada

La energía almacenada es la correspondiente a un condensador

U_\mathrm{e}(t) = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2 = \frac{1}{2}CV_0^2 \mathrm{e}^{-2t^2/T^2}

4.2 Potencia disipada

La potencia disipada en forma de calor la hallamos empleando la ley de Joule

P_d = \int \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau

Teniendo en cuenta que tanto el campo como la densidad de corriente son (aproximadamente) uniformes en el espacio entre las placas, esta integral equivale a

P_d = \left(\frac{V(t)}{a}\mathbf{u}_z\right)\cdot\left(\sigma\frac{V(t)}{a}\mathbf{u}_z\right)Sa = \frac{V(t)^2}{a/\sigma S} = \frac{V_0^2}{R}\mathrm{e}^{-2t/\tau}

4.3 Potencia del generador

El generador desarrolla una potencia instantánea igual al producto de su fuerza electromotriz por la corriente que lo atraviesa

P_g = \mathcal{E}I

En este caso, la f.e.m. coincide con la tensión entre las placas y la corriente es la que llega por el cable

P_g = V(t)I =V_0^2\left(-2\frac{Ct}{T^2}+\frac{1}{R}\right)\mathrm{e}^{-t^2/T^2}

Este resultado posee una sencilla interpretación física. Tenemos que en cada instante se verifica

P_g = \mathcal{E}I = \Delta V\left(C\frac{\mathrm{d}(\Delta V)}{\mathrm{d}t}+\frac{\Delta V}{R}\right)=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}C(\Delta V)^2\right)+\frac{(\Delta V)^2}{R} = \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{e}}{\mathrm{d}t}+P_d

esto es, la potencia desarrollada por el generador se va en parte en variar la energía almacenada en el elemento y parte se va en energía disipada en forma de calor.

5 Energía y trabajo totales

5.1 Energía total disipada

La energía total disipada en el elemento es la integral respecto al tiempo de la potencia disipada, sobre todo el tiempo que está presente el pulso, que en este caso es desde -\infty a +\infty;

W_d = \int_{-\infty}^\infty P_d\, \mathrm{d}t = \frac{V_0^2}{R}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-2t^2/T^2}\mathrm{d}t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{V_0^2T}{R}

Nótese que el resultado no puede depender del tiempo, y que debe ser dimensionalmente correcto (igual a una potencia multiplicada por un tiempo), condiciones ambas que se verifican en este caso.

5.2 Trabajo total del generador

De forma análoga se halla el trabajo total realizado por el generador, como la integral respecto al tiempo de la potencia que desarrolla

W_g = \int_{-\infty}^\infty P_g\, \mathrm{d}t = V_0^2\int_{-\infty}^{\infty}\left(-\frac{2Ct}{T^2}+\frac{1}{R}\right)\mathrm{e}^{-2t^2/T^2}\mathrm{d}t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{V_0^2T}{R}

De los dos términos, el primero es la integral de una diferencial exacta que se anula en \pm\infty por lo que no contribuye al trabajo total. Por tanto el trabajo total realizado por el generador es igual a la energía total disipada.

Para explicar este resultado recordemos que en cada instante se verifica

P_g  = \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{e}}{\mathrm{d}t}+P_d

Si aquí integramos respecto al tiempo obtenemos

W_g = \Delta\left(U_\mathrm{e}\right) + W_d

esto es, el trabajo total realizado por el generador es la suma de lo que aumenta de forma neta la energía almacenada en el condensador, más lo que se disipa como calor. En este caso, sin embargo, la energía almacenada en el instante inicial y el final son ambas nulas, ya que el voltaje tiene un pulso pero empieza y acaba siendo nulo. Por ello, el primer término se anula y la igualdad se reduce a

W_g = W_d\,

5.3 Valores numéricos

En este caso, los valores numéricos se reducen a hallar la cantidad

W_g = W_d = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{V_0^2T}{R}

La resistencia del elemento vale

R = \frac{a}{\sigma S} = \frac{5\,\mathrm{mm}}{(3.4\times 10^{-4}\mathrm{S}/\mathrm{m})(20\,\mathrm{cm})^2}=370\,\Omega

y la energía total disipada

W_d = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{V_0^2T}{R} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(5\,\mathrm{V})^2(3\,\mathrm{s})}{370\,\Omega} = 0.25\,\mathrm{J}

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