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Pulso de corriente inducida

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica R1 circula una corriente variable en el tiempo, tal que su valor es

I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}
  1. Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre t\to -\infty y t\to\infty.
  2. Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.
  3. Junto al cable y coplanaria con él se encuentra una pequeña espira cuadrada de lado a con su centro situado a una distancia b (b\gg a) del hilo. Esta espira posee resistencia R2 y autoinducción despreciable. Calcule la corriente inducida en esta espira como función del tiempo.
  4. Halle la carga que pasa por un punto de la espira entre t\to -\infty y t\to\infty.
  5. Calcule la energía disipada en la espira en el mismo tiempo.

2 Carga que recorre el hilo

La carga que pasa por una sección del hilo en un tiempo dt es

\mathrm{d}Q=I(t)\,\mathrm{d}t

Por lo que la carga total que pasa vale

Q= \int_{-\infty}^\infty I(t)\,\mathrm{d}t

En este caso, tenemos que la corriente es nula salvo en el intervalo 0 < t < T por lo que el cálculo se reduce a

Q = \int_0^T I(t)\,\mathrm{d}t = \frac{I_0}{T^2}\int_0^T (tT-t^2)\mathrm{d}t = \frac{I_0}{T^2}\left(\frac{T^3}{2}-\frac{T^3}{3}\right) = \frac{I_0T}{6}

3 Energía disipada en el hilo

La energía disipada se calcula de forma análoga a partir de la potencia

W_d = \int_0^T I^2R_1\,\mathrm{d}t = \frac{I_0^2R_1}{T^4}\int_0^T (tT-t^2)^2\mathrm{d}t =\,\,\frac{I_0^2R_1}{T^4}\int_0^T (t^2T^2-2t^3T+t^4)\mathrm{d}t=\frac{I_0^2R_1}{T^4}\left(\frac{T^5}{3}-2\frac{T^5}{4}+\frac{T^5}{5}\right) = \frac{I_0^2TR_1}{30}

4 Corriente inducida

La corriente inducida la obtenemos por aplicación de la ley de Faraday

I_2=-\frac{1}{R_2}\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}

El flujo magnético lo calculamos a partir del campo producido por el hilo

\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I_1}{2\pi\rho}\mathbf{u}_\varphi

Puesto que la espira es muy pequeña, podemos suponer que ρ = b para todos sus puntos. Asimismo, en la posición de la espira, el campo magnético apunta en la dirección hacia adentro del plano, que es la marcada por \mathbf{u}_y. Por ello

\mathbf{B}_1\simeq\frac{\mu_0I_1}{2\pi b}\mathbf{u}_y

Tomando un sentido de recorrido de la espira tal que la normal a la superficie es también \mathbf{u}_y nos queda

\Phi_m = \int_{S_2}\mathbf{B}_1\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_2 = \frac{\mu_0I_1a^2}{2\pi b}

Esta función depende del tiempo porque lo hace la corriente que pasa por el hilo, por ello la corriente inducida es

I_2 = -\frac{\mu_0a^2}{2\pi b R_2}\,\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}

Sustituyendo la expresión de I1

I_2 = \begin{cases}\displaystyle -I_{20}\left(1-\frac{2t}{T}\right) & 0 < t < T \\ & \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}\qquad I_{20}=\frac{\mu_0a^2I_0}{2\pi b R_2T}

Esta función es nula en todo instante salvo en el intervalo (0,T), en el cual tiene forma de rampa. Inicialmente el flujo está aumentando, por lo que la corriente inducida tiende a disminuirlo. Posteriormente el flujo disminuye, por lo que la corriente tiende a aumentarlo.

5 Carga que recorre la espira

La carga se calcula de la misma manera que en el primer apartado

Q_2 = \int_{-\infty}^{\infty}I_2\,\mathrm{d}t

De la simetría impar de la función I2(t) respecto al centro del periodo, es fácil ver que esta integral va a ser nula.

Es más directo y general hallarlo de la forma siguiente

Q_2 = \int_{-\infty}^{\infty}I_2\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{R_2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = -\frac{\Delta\Phi_m}{R_2}

siendo ΔΦm el incremento de flujo entre el instante final y el inicial. Puesto que tanto en t\to+\infty como en t\to-\infty el flujo magnético es nulo, deducimos que

Q_2 = -\frac{\Delta\Phi_m}{R_2} = 0

6 Energía disipada en la espira

La energía disipada en la espira, en cambio, no es nula. Aplicando de nuevo la ley de Joule

W_d = \int_{-\infty}^\infty I_2^2R_2\,\mathrm{d}t=I_{20}^2R_2\int_0^T\left(1-\frac{2t}{T}\right)^2\,\mathrm{d}t = \frac{I_{20}^2R_2T}{3}

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