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Propulsión con resorte

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Sobre una mesa horizontal se encuentra un bloque de masa m_2 = 300\,\mathrm{g}. Para lanzarlo por el plano se emplea un resorte de constante k = 10\,\mathrm{N}/\mathrm{m} en cuyo extremo se encuentra una masa m_1 = 100\,\mathrm{g}. En la posición de equilibrio, las dos masas se tocan. El resorte no tiene rozamiento alguno. La masa m2 tiene un coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) μ = 0.2 con la mesa.

Se comprime el resorte una distancia A = 10\,\mathrm{cm} y a continuación se libera, para que golpee a la masa m2 y esta salga disparada.

  1. Halle la velocidad que lleva la masa m1 en el momento del impacto.
  2. Suponiendo que el choque es elástico, calcule las velocidades que tienen las masas justo tras la colisión.
  3. Calcule la distancia recorrida por m2 hasta que se para y el tiempo que tarda en hacerlo.
  4. Halle cuánto se vuelve a contraer el muelle tras la colisión.
Archivo:propulsion-resorte.png

2 Velocidad del resorte

La masa unida al resorte no experimenta fuerzas de rozamiento y está sometida exclusivamente a fuerzas conservativas y por tanto se conserva la energía mecánica.

E = K + U = \mathrm{cte}\,

La energía potencial es la suma de la gravitatoria (que es constante, por ser la superficie horizontal) y la elástica. Podemos ignorar la gravitatoria, pues siempre va a tener el mismo valor. Esto nos deja con la ley de conservación

\frac{1}{2}m_1v^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \mathrm{cte}

Para hallar la velocidad de impacto, igualamos la energía mecánica en el momento de máxima compresión, con la que tiene la masa 1 en el momento del golpe. En el primer caso, la masa está instantáneamente en reposo y su energía cinética es nula, y en el segundo se halla en la posición de equilibrio, por lo que se anula su energía potencial. Esto nos da

\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2\qquad\Rightarrow\qquad v_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}A

Sustituyendo los valores numéricos

v_1 = \sqrt{\frac{10}{0.1}}0.1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 1.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3 Velocidades tras la colisión

Una vez que se produce la colisión tanto la masa unida al muelle, como la que se encuentra sobre el plano, tienen nuevas velocidades. Para hallarlas aplicamos la ley de conservación de la cantidad de movimiento

m_1v_{1i}+m_2\overbrace{v_{2i}}^{=0} = m_1v_{1f}+m_2v_{2f}

y que la colisión es perfectamente elástica, con lo que se conserva la energía cinética del sistema, o equivalentemente, el coeficiente de restitución es la unidad

1 = \frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{1i}-v_{2i}}\qquad \Rightarrow\qquad v_{1i}-\overbrace{v_{2i}}^{=0} = v_{2f}-v_{1i}

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas queda

v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}=\frac{100-300}{100+300}\cdot 1.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=-0.5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

y para la masa 2

v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{2i}=\frac{2\cdot 100}{100+300}\cdot 1.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=+0.5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Vemos que las dos masas se alejan con velocidades iguales y opuestas.

4 Movimiento de la masa 2

Una vez que empieza a deslizarse por el plano, la masa 2 experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la normal, que en este caso iguala al peso,

|\vec{F}_r| = \mu |\vec{F}_n| = \mu m_2g

Esta fuerza es horizontal y opuesta al movimiento

\vec{F}_r = -\mu m_2g\vec{\imath}

Por ser constante produce un movimiento uniformemente acelerado, con aceleración

a_2 = \frac{F_r}{m}=-\mu g

Integrando dos veces obtenemos la velocidad y la posición en cada instante

v = v_{2f} - \mu g t\qquad\qquad x = v_{2f}t-\frac{1}{2}\mu g t^2

El tiempo T hasta que la masa se para lo da el que la velocidad se anule

0 = v_{2f}-\mu g T\qquad\Rightarrow\qquad T = \frac{v_{2f}}{\mu g}=\frac{0.5}{0.2\times 9.8}\,\mathrm{s}=0.255\,\mathrm{s}

y la distancia recorrida hasta que se para es

X = v_{2f}T-\frac{1}{2}\mu g T^2 = \frac{v_{2f}^2}{2\mu g}= \frac{v_{2f}T}{2}=0.0638\,\mathrm{m}=6.38\,\mathrm{cm}

5 Contracción del muelle

Tras la colisión, la masa 1 retrocede y vuelve a comprimir el muelle. La distancia que se comprime, A' la hallamos aplicando de nuevo la ley de conservación de la energía mecánica

\frac{1}{2}mv_{1f}^2 = \frac{1}{2}kA'^2 \qquad\Rightarrow\qquad A' = \sqrt{\frac{m}{k}}v_{1f}=0.05\,\mathrm{m}=5\,\mathrm{cm}

La amplitud en un movimiento armónico simple es proporcional a la rapidez en el punto de equilibrio, así que si ésta es la mitad que antes, la amplitud resultante también es la mitad de la primera.

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