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Propiedades de un triángulo (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dado el triángulo de vértices O(0,0,0), A(0.15,0.60,-0.20) y B(0.42,0.00,-0.56) (en m), calcule

  1. su perímetro
  2. su área
  3. su vector superficie,
  4. la longitud de la altura perpendicular al lado OB

2 Perímetro

En lo que sigue todas las distancias están en metros y las áreas en metros cuadrados.

El perímetro es la suma de las longitudes de los lados y cada una es la longitud de un vector de posición relativa

p=\left|\overrightarrow{OA}\right|+\left|\overrightarrow{OB}\right|+\left|\overrightarrow{AB}\right|

siendo los vecores de posición relativa

\overrightarrow{OA}=0.15\vec{\imath}+0.60\vec{\jmath}-0.20\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{OB}=0.42\vec{\imath}-0.56\vec{k}

y

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(0.42\vec{\imath}-0.56\vec{k}\right)-\left(0.15\vec{\imath}+0.60\vec{\jmath}-0.20\vec{k}\right)=0.27\vec{\imath}-0.60\vec{\jmath}-0.36\vec{k}

Las longitudes de los lados miden

\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{0.15^2+0.60^2+0.20^2}=0.65\qquad \left|\overrightarrow{OB}\right|=\sqrt{0.42^2+0.56^2}=0.70\qquad\qquad \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{0.27^2+0.60^2+0.36^2}=0.75

lo que nos da un perímetro

p=0.65+0.70+0.75=2.10\,

3 Área

El área del triángulo calculamos a partir del producto vectorial

S=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|

Calculamos este producto

\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ 0.15&0.60&-0.20\\0.42&0.00&-0.56\end{matrix}\right|=-0.336\vec{\imath}-0.252\vec{k}

lo que nos da

S=\frac{\sqrt{0.336^2+0.252^2}}{2}=\frac{0.420}{2}=0.210

4 Vector superficie

El vector superficie para una figura plana es

\vec{S}=S\vec{n}

siendo \vec{n} el unitario normal a la superficie. En este caso este vector lleva la dirección del producto vectorial y, por tanto,

\vec{S}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right)=-0.168\vec{\imath}-0.126\vec{k}

5 Altura

Obtenemos la longitud de la altura a partir del área, ya que, por un lado,

S=\frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{OB}\right|h

y, por otro,

S=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|

por lo que

h=\frac{\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}=\frac{0.420}{0.70}=0.60

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