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Propiedades de un tetraedro (GIOI)

De Laplace

1 Enunciado

Sea el tetraedro regular inscrito en un cubo de arista b, que tiene por vértices 4 de los del cubo.

  1. ¿Cuánto vale la superficie lateral del tetraedro?
  2. ¿Cuánto vale su volumen? (el volumen de un tetraedro es 1/6 del volumen del paralelepípedo definido por tres de sus lados no coplanarios)

2 Superficie lateral

Tomando como origen uno de los vértices del tetraedro y como ejes las aristas del cubo que pasan por él, los cuatro vértices son

\overrightarrow{OO}=\vec{0}\qquad\qquad \overrightarrow{OA}=b\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad\overrightarrow{OB}=b\left(\vec{\imath}+\vec{k}\right)\qquad\qquad\overrightarrow{OC}=b\left(\vec{\jmath}+\vec{k}\right)

Al tratarse de un tetraedro regular, la superficie lateral es 4 veces la de una de las caras triangulares. Cada una de estas vale

S_1=\frac{\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|}{2}

siendo

\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\b&b&0\\b&0&b\end{matrix}\right|=b^2\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}\right)

lo que nos da

S_1=\frac{\sqrt{3}b^2}{2}\qquad\qquad S=4S_1=2\sqrt{3}b^2

3 Volumen

El volumen lo calculamos a partir del producto mixto

\frac{1}{6}(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}=\frac{1}{6}\left|\begin{matrix}b&b&0\\b&0&b\\0&b&b\end{matrix}\right|=-\frac{2b^3}{6}=-\frac{b^3}{3}

El signo negativo procede del orden en que se han puesto los vectores. Evidentemente el volumen como tal es el valor absoluto

V=\left|\frac{-b^3}{3}\right|=\frac{b^3}{3}

Así pues, el tetraedro tiene por volumen un tercio del del cubo que lo contiene.

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