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Producción de entropía en un frigorífico real

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Para mantener su interior a 4°C en una habitación que se encuentra a 27°C un frigorífico ha de extraer 360 kJ/min de su interior. Si la entrada de potencia requerida por el frigorífico es 2 kW, determine:

  1. Eficiencia del refrigerador. Compárela con la eficiencia de un refrigerador ideal (reversible) que trabaje entre los mismos focos térmicos.
  2. Potencia extra que consume este frigorífico respecto a uno ideal que extraiga la misma energía de su interior.
  3. Entropía generada por segundo en el universo por la operación del frigorífico real.

2 Eficiencia del refrigerador

La eficiencia de un refrigerador se expresa habitualmente en términos del coeficiente de operación (COP), denotado por COPR. También se utiliza a veces la letra η. USaremos esta última notación en este problema.

La eficiencia de un refrigerador es el calor extraído del foco frío dividido por el trabajo requerido para hacer funcionar el refrigerador. Por supuesto esta definición es igualmente válida cuando se emplea el calor extraido y el trabajo requerido por unidad de tiempo. Entonces para nuestro refrigerador tenemos:

\eta_\mathrm{real}=\frac{|Q_f|}{W_{\mathrm{real}}}=\frac{360 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{min}} \frac{1\textrm{min}}{60\textrm{s}}}{2 \mathrm{kJ/s}}=3

Esta eficiencia se encuentra dentro del rango de valores típicos del COP para refrigeradores reales.

Por otra parte, sabemos que para un refrigerador ideal la eficiencia es una función exclusivamente de las temperaturas del foco frío y del foco caliente:

\eta_\mathrm{reversible}=\frac{T_f}{T_c-T_f}=\frac{277 \mathrm{K}}{23 \mathrm{K}}=12.0

Es decir, que la eficiencia del refrigerador real es un 25% de la eficiencia teórica máxima que se podría alcanzar para un refrigerador trabajando entre esos focos térmicos. Esto es lo que suele denominarse eficiencia de la segunda ley ó eficiencia del segundo principio.

3 Potencia extra consumida

Dado que la eficiencia de la máquina real es cuatro veces más pequeña que la eficiencia ideal, la potencia necesaria para extraer la misma energía por unidad de tiempo del foco frío en la máquina real debe ser necesariamente mayor que para la máquina real. La potencia extra necesaria puede calcularse como \dot{W}_{\mathrm{extra}}=\dot{W}_{\mathrm{real}}-\dot{W}_{\mathrm{reversible}}\, y asumiendo, como hemos dicho, que ambas máquinas absorben el mismo calor |Q_f|\, del foco frío obtenemos:

\dot{W}_{\mathrm{extra}}=\dot{W}_{\mathrm{real}}\left(1-\frac{\dot{W}_{\mathrm{reversible}}}{\dot{W}_{\mathrm{real}}}\right)=\dot{W}_{\mathrm{real}}\left(1-\frac{\eta_{\mathrm{real}}}{\eta_{\mathrm{reversible}}}\right)=2\,\mathrm{kW}(1-0.25)=1.5\,\mathrm{kW}

Es decir, que la máquina reversible solamente necesitaría el 25% (0.5 kW) de los 2 kW empleados por la máquina real para obtener el mismo resultado.

4 Entropía generada

El trabajo que se obtiene en un refrigerador es la diferencia entre el calor cedido al foco caliente y el calor absorbido del foco frío.

W_\mathrm{real}=|Q_c|-|Q_f|\,

Este trabajo puede relacionarse con el incremento de entropía del universo cuando opera la máquina. Recordemos que la máquina es cíclica y por tanto no existe incremento de entropía por ciclo en su interior, pero sí existe un incremento de entropía asociado a la absorción o cesión de calor de los focos:

\Delta S=\frac{|Q_c|}{T_c}-\frac{|Q_f|}{T_f}

Despejando |Q_c|\, en esta ecuación y sustituyendo en la expresión del trabajo se obtiene:

W_\mathrm{real}=|Q_f|\left(\frac{T_c}{T_f}-1\right)+ T_c \Delta S

Si la máquina es reversible el principio de incremento de entropía establece que ΔS = 0 y por tanto el trabajo que se obtiene es:

W_\mathrm{reversible}=|Q_f|\left(\frac{T_c}{T_f}-1\right)

que constituye una demostración de la ecuación para la eficiencia ideal que se ha empleado en el primer apartado. Entonces la expresión para el trabajo de la máquina real se podría escribir como:

W_\mathrm{real}= W_\mathrm{reversible}+ T_c \Delta S\,

En virtud del segundo principio de la termodinámica sabemos que el funcionamiento de cualquier máquina real provoca un aumento de la entropía del universo. Entonces en la ecuación anterior tenemos que \Delta S>0\, y, como la temperatura absoluta es siempre positiva, se deduce que W_ {\mathrm{real}}>W_ {\textrm{reversible}}\,. Es decir, que cualquier máquina real operando entre los mismo focos deberá realizar un trabajo mayor que W_ {\mathrm{reversible}}\, para extraer el mismo calor del foco frío. Por tanto, un refrigerador real, debido a su carácter irreversible, debe realizar siempre un trabajo extra que, en virtud de la ecuación anterior, es:

W_{\mathrm{extra}}=T_c \Delta S\,

Este trabajo adicional, que no habría sido necesario gastar si la máquina hubiera sido reversible, se añade al calor total trasvasado por el refrigerador al foco caliente y, por tanto, puede considerarse que es energía que se degrada como consecuencia de la irreversibilidad del refrigerador real. Es importante destacar que el trabajo extra es una magnitud proporcional al incremento de entropía del universo en el proceso. Comprobamos aquí que el incremento de entropía nos da una información cuantitativa del grado de irreversibilidad de un proceso y de la degradación de la energía que conlleva. En definitiva de la anterior ecuación podemos calcular el incremento de entropía del universo a partir de la potencia extra:

\Delta \dot{S}=\frac{\dot{W}_{\mathrm{extra}}}{T_c}=\frac{1.5\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{s}}}{300\,\mathrm{K}}=5.0\,\mathrm{\frac{J}{sK}}

Nótese que al estar la energía expresada por unidad de tiempo (potencia) lo que obtenemos realmente es el incremento de entropía del universo por segundo (ritmo de generación de entropía).

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