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Proceso de carga de una esfera conductora (F2GIA)

De Laplace

1 Enunciado

A una esfera metálica de radio R, inicialmente descargada, llega una corriente eléctrica a través de un delgado hilo conductor. La intensidad de la corriente decae exponencialmente en el tiempo según la ley I(t) = I0et / τ, donde I0 es la intensidad de corriente inicial y τ es un valor constante con dimensiones de tiempo (constante de relajación). ¿Cómo será el valor del potencial electrostático en la esfera al cabo de un tiempo suficientemente grande (t\longrightarrow\infty)?

2 Solución

La intensidad de corriente que circula por el cable conductor describe la cantidad de carga que por unidad de tiempo cruza cualquiera de sus secciones S. Dicha carga llega a la esfera conductora, donde se irá acumulando. Aplicando el principio de conservación de la carga, se tendrá que la variación instantánea de la cantidad de carga Q(t) en la esfera será igual a la intensidad de corriente que circula por el cable:

 

\frac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}=I(t)\big\rfloor_S=I_0\!\ e^{-t/\tau}

Por tanto, para obtener la cantidad total de carga Qf que almacenará la esfera al cabo de un intervalo de tiempo muy grande, no hay más que integrar la anterior ecuación diferencial con la condición de que en el instante inicial (cuando empieza a circular la corriente) la esfera está descargada:

Q_f=\int_0^{Q_f}\! \mathrm{d}Q=I_0\int_0^\infty\!\ e^{-t/\tau}\!\ \mathrm{d}t=-I_0\!\ \tau \bigg[e^{-t/\tau}\bigg]_0^\infty=I_0\!\ \tau

Obsérvese que el proceso de variación de la cantidad de carga en la esfera va ser cada vez más lento, ya que la intensidad de corriente sigue una ley exponencial decreciente. En el límite, cuando el tiempo transcurrido sea mucho mayor que el tiempo característico τ la carga apenas sufrirá variación, alcanzándose una situación de, prácticamente, equilibrio electrostático. Por tanto, toda la carga Qf acabará distribuyéndose de manera uniforme en la superficie de la esfera, que consituirá una superficie equipotencial. La relación entre la cantidad de carga almacenada y el valor del potencial debe ser igual a la capacidad eléctrica de una superficie esférica de radio R:

\frac{Q_f}{V_f}=C=4\pi\varepsilon_0R\quad\Longrightarrow\quad V_f=\frac{Q_f}{4\pi\varepsilon_0\!\ R}=\frac{I_0\!\ \tau}{4\pi\varepsilon_0\!\ R}

que será el valor máximo que alcanzará el potencial electrostático en la esfera durante el proceso de carga de ésta.

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