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Problemas de vectores libres (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Ejercicios del boletín de problemas 1 (2018/19)

1.1 Posición de vértices y volumen de un paralelepípedo

Los puntos O, A, B y C son vértices no contiguos de un paralelepípedo, de manera que O y A se encuentran en un plano distinto al que contiene a B y C. Las coordenadas de estos puntos en un sistema de

referencia cartesiano son:

O(0, 0, 0)\mathrm{;}\quad A(\sqrt{3} + 1, 0,0)\mathrm{;}\quad B(1, 0, 1)\mathrm{;}\quad C(\sqrt{3}, 2, 1)\mathrm{,}

medidas en unidades de longitud. Determine las componentes cartesianas de los vectores

\vec{u}=\overrightarrow{OB}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{v}=\overrightarrow{OC}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{w}=\overrightarrow{OO}^\prime.

y calcule el volumen del paralelepípedo.

1.2 Componentes cartesianas de un vector

Calcule las componentes cartesianas de un vector \vec{a} con módulo de 13.0 unidades que forma un ángulo \gamma=22.6^{\circ} con el eje OZ y cuya proyección en el plano OXY forma un ángulo \alpha=37.0^{\circ} con el eje OX. Calcule también los ángulos con los ejes OX y OY.

1.3 Proyección de la aceleración de la gravedad en cuatro diedros

Cerca de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad se puede representar como un vector \vec{g} de módulo |g| = 9.81 \,\mathrm{m/s^2} , dirección vertical y sentido hacia abajo. Calcule las componentes de \vec{g} en los cuatro sistemas de referencia de la figura.

1.4 Ángulo que forman dos vectores

Calcule el angulo que forman los vectores \vec{a} = 2\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath} - \vec{k} y \vec{b} = -\vec{\imath} + \vec{\jmath} +2\, \vec{k}. Obtenga también los cosenos directores de ambos vectores.

1.5 Diagonales de un rombo

Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

1.6 Ángulo capaz de 90o

Dada una circunferencia de centro O y radio R, y un diámetro \overline{AB} cualquiera, demuestre que las cuerdas \overline{PA} y \overline{PB} se cortan perpendicularmente,para todo punto P perteneciente a la circunferencia (arco capaz de 90o).

1.7 Producto vectorial de dos vectores

Calcule el producto vectorial de los vectores \vec{a} = 2\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath} - \vec{k} y \vec{b} = -\vec{\imath} + \vec{\jmath} +2\, \vec{k}, así como el área del triángulo que forman. Considere que las componentes vienen dadas en metros.

1.8 Teoremas del seno y del coseno

Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.

1.9 Rombo situado en el espacio

El rombo OACB tiene sus lados de longitud unidad y su

área es igual a \displaystyle\sqrt{3}/2. Su lado OA se encuentra en el plano OXY de un sistema de referencia cartesiano, formando un ángulo de π / 4 con el eje OX. El lado OB forma un ángulo de π / 4 con el eje OZ.

  1. Calcular la longitud de la diagonal OC
  2. Determinar las coordenads cartesianas del vértice C

1.10 Volumen de un paralelepípedo

Calcule el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los vectores \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} y \overrightarrow{OC}. Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, − 3,1) (unidades medidas en metros).

1.11 Producto mixto nulo

Dados los vectores \vec{A}, \vec{B} y \vec{C}, demuestre que la relación \vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C})=0 se cumple en cualquiera de los siguientes supuestos:

  1. Los tres vectores son colineales.
  2. Dos de los vectores son colineales.
  3. \vec{A}, \vec{B} y \vec{C} no son colineales pero sí coplanarios.

2 Otros ejercicios de vectores libres

2.1 Suma y diferencia de vectores

El vector \vec{a} tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de 36.0^{\circ} con el eje X, mientras que el vector \vec{b} tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje X. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.

2.2 Vértices de un tetraedro

Los puntos O, A, B y C son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud λ. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:


\begin{array}{lllll}
\vec{\omega}_1=\overrightarrow{OA} && \vec{\omega}_2=\overrightarrow{AB} && \vec{\omega}_3=\overrightarrow{BO}\\
\vec{\omega}_4=\overrightarrow{OC} && \vec{\omega}_5=\overrightarrow{AC} && \vec{\omega}_6=\overrightarrow{BC}
\end{array}

Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ, tal que la cara OAB del tetraedro está contenida en el plano OXY, y el vértice B es un punto del eje OY (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro.

2.3 Volumen de un tetraedro

Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas A(0,1,1) y B(2, − 1,2), y que dos de las aristas que concurren en B están definidas por los vectores libres \vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k} y \vec{v}_2 =  4 \vec{k} (las coordenadas están en metros).

2.4 Distancia de un punto a un plano

Encuentra la ecuación del plano perpendicular al vector libre \vec{a} = 2\vec{\imath} +3\vec{\jmath} + 6\vec{k} y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radio vector \vec{r}=\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+3\vec{k}. Calcula la distancia que separa al origen O de dicho plano (todas las distancias están dadas en metros).

2.5 Distancia mínima entre dos rectas

Hallar la menor distancia entre las rectas Δ(A,B) y Γ(C,D), y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas A(1, − 2, − 1) y B(4,0, − 3), para el caso de Δ, y C(1,2, − 1) y D(2, − 4, − 5), para la recta Γ.

2.6 Condiciones sobre producto escalar y vectorial

Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones

  1. \vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}
  2. \vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}

siendo \vec{A} \neq 0, entonces \vec{B}= \vec{C}; pero si sólo se cumple una de ellas, entonces \vec{B} \neq \vec{C}.

2.7 Derivada de un vector

Un punto recorre una circunferencia de radio R, de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo α con el eje OX.

  1. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo α.
  2. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo α.
  3. Si el ángulo α depende del tiempo como α = ωt, calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

2.8 Recta soporte de un vector deslizante

Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor \vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - 2\vec{k} y su momento respecto al origen de coordenadas es \overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.

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