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Problemas de materiales dieléctricos

De Laplace

Contenido

1 Permitividad de un gas noble

El estudio de las propiedades dieléctricas de los gases puede servir para medir el tamaño de los átomos.

Para ello, suponga que se modela un átomo de número atómico Z como compuesto de una carga puntual Ze (el núcleo) y una nube esférica uniforme, con volumen τ (los electrones). Si a un átomo de este tipo se le aplica un campo externo uniforme \mathbf{E}_0, ¿cuánto vale el momento dipolar inducido en el átomo por la separación de los centros de carga?

Para un gas monoatómico (un gas noble) con una densidad de N átomos por unidad de volumen, ¿cuánto valdrá la susceptibilidad y la permitividad?

Experimentalmente se comprueba que el helio en condiciones normales tiene una permitividad relativa \varepsilon_r=1.000065, mientras que para el neón \varepsilon_r=1.000123, y para el argón \varepsilon_r=1.0051659. Según esto, ¿cuál es el tamaño de un átomo de cada uno de estos gases nobles?

2 Esfera polarizada uniformemente

Se tiene una esfera dieléctrica de radio R polarizada uniformemente con \mathbf{P}=\mathbf{P}_0.
  1. Halle, por integración directa el potencial eléctrico en todos los puntos del espacio.
  2. ¿Cuáles son los valores de \mathbf{E}, \mathbf{D} y \mathbf{P} dentro y fuera de la esfera?
  3. ¿Cuánto valen las densidades de carga equivalentes a la polarización?

3 Medio polarizado entre dos placas

Entre dos placas metálicas planas y paralelas, de sección S y separadas una distancia a, se encuentra un dieléctrico que presenta polarización remanente, de forma que en él

\mathbf{P} = \mathbf{P}_0

siendo \mathbf{P}_0 un vector uniforme, en la dirección perpendicular a las placas. El dieléctrico es perfectamente aislante.

  1. Inicialmente las placas están descargadas. Si se conectan mediante un voltímetro, ¿cuánto medirá éste?
  2. Suponga que las dos placas se conectan mediante un hilo conductor, ¿cuánta carga se almacena en cada placa metálica?
  3. Calcule cómo cambian los resultados si la polarización del dieléctrico no es constante, sino que depende del campo como
\mathbf{P} = \mathbf{P}_0 +\varepsilon\chi_e\mathbf{E}

4 Esfera polarizada radialmente

Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con una polarización radial

\mathbf{P}=P_0\mathbf{u}_{r}
  1. Calcule la distribución de cargas equivalente a esta polarización.
  2. Determine los campos \mathbf{D} y \mathbf{E} en todo el espacio.

5 Condensador con dos capas de dieléctrico

Entre dos placas metálicas conductoras planas y paralelas a una distancia d = a + b se colocan dos dieléctricos de permitividades \varepsilon_1 y \varepsilon_2 y espesores a y b respectivamente, tal como muestra la figura. Halle la capacidad de este condensador y construya el circuito equivalente.

Image:cidealdoscapas.gif

6 Condensador con tres capas de dieléctrico

Entre dos placas metálicas, planas y paralelas de sección S y separadas una distancia 3a se encuentran tres capas de dieléctrico, de espesor a cada una. Las capas poseen permitividades \varepsilon_1, \varepsilon_2 y \varepsilon_3. Las dos capas adyacentes a las placas son dieléctricos ideales, mientras que la capa central posee una conductividad σ.

Se establece bruscamente una diferencia de potencial V0 entre las placas conductoras

  1. Determine la distribución del campo eléctrico en todos los puntos entre las placas, en los instantes inmediatamente posteriores a la conexión.
  2. Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema en estos instantes iniciales.
  3. Pasado un tiempo largo tras la conexión, ¿cuál es la distribución de campos en el sistema? ¿Cuánto vale la energía almacenada?
  4. ¿Cuánto valen las cargas almacenadas en las placas inmediatamente después de la conexión y mucho tiempo después de ella? ¿Qué trabajo ha realizado el generador en el periodo transitorio?
  5. Sin resolver la evolución temporal de los campos en el sistema, ¿cuánto vale la energía disipada durante el periodo transitorio?

Desprecie los efectos de borde.

7 Condensador con dos y con cuatro bloques de dieléctrico

Repita el problema de dos dieléctricos entre dos placas suponiendo que la interfaz que separa los dieléctricos es perpendicular a las placas.

¿Se podría resolver un problema similar pero con cuatro dieléctricos, tal como muestra la figura? ¿Cuál sería el circuito equivalente?

Imagen:cidealhelado.gif        Imagen:cideal4zonas.gif

8 Acelerómetro eléctrico

Se construye un acelerómetro eléctrico mediante dos condensadores en serie, de sección cuadrada de lado L y con placas separadas una distancia $a$. Entre los extremos de la asociación se encuentra aplicada una d.d.p. constante V0. Un líquido dieléctrico ideal, de permitividad \varepsilon, puede pasar de uno a otro condensador. En el estado de movimiento uniforme, el líquido llena hasta la mitad ambos condensadores. Cuando el sistema posee una cierta aceleración, los niveles cambian, de forma que entre los dos condensadores existe un desnivel h (ver figura) relacionado con la aceleración por la ecuación a / g = h / d, siendo d la distancia entre los condensadores.

  1. Halle la diferencia de potencial entre las placas del condensador 1. Calcule la diferencia con su valor para h = 0 y, a partir de aquí, obtenga la aceleración del dispositivo.
  2. ¿Cuánto varía la carga del condensador 1 cuando el desnivel pasa de 0 a h? ¿Y la energía electrostática almacenada en el sistema?
Archivo:acelerometro.png

9 Permitividad efectiva de la unión de dos materiales

Un condensador de placas planas y paralelas está relleno de dos capas del mismo espesor de materiales dieléctricos de permitividades relativas 3 y 5, siendo la interfaz paralela a las placas. ¿Cuánto vale la permitividad relativa promedio de este condensador?

Suponga ahora que los dos materiales se encuentran en dos bloques adyacentes, ocupando cada uno la mitad de la sección. ¿Cuál es en ese caso la permitividad promedio?

Archivo:Cidealdoscapas.gif        Imagen:cidealhelado.gif

10 Refracción de un campo eléctrico

El campo eléctrico en el exterior de un dieléctrico tiene por módulo 100 V/m y forma un ángulo π / 6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un ángulo π / 3 con la normal. Halle:
  1. La permitividad relativa del medio.
  2. El módulo del campo en el interior del material.
  3. La densidad de carga de polarización en la frontera.
  4. El salto en la componente tangencial de \mathbf{D}.

11 Ruptura dieléctrica

La ruptura dieléctrica se produce cuando el campo eléctrico entre dos conductores supera un valor crítico Ec, saltando una chispa en el vacío, o quemando el dieléctrico que pueda haber en medio. Esto limita la carga que se puede almacenar en las placas de un condensador.

  1. Suponga que entre dos placas planas y paralelas de sección circular de diámetro D = 26 cm, entre las cuales se encaja una lámina de metacrilato de grosor a = 2 mm, cuya permitividad es εr = 3.40 y el campo de ruptura es Ec = 30 kV/mm. Halle la máxima carga que puede almacenar este condensador.
  2. Suponga que, en el caso anterior las placas no están en contacto con el metacrilato, sino que hay un espacio de 1 mm a cada lado lleno de aire, cuyo campo de ruptura es 3 kV/mm, ¿cuál es en ese caso la carga máxima?
  3. Si lo que tenemos es un cable coaxial RG-58/U de radio interior a = 0.9 mm y exterior b = 3.8 mm, entre las cuales hay polietileno con permitividad εr = 2.3 y campo de ruptura Ec = 0.5 kV/mm,
    1. ¿cuál es la mayor diferencia de potencial que se puede establecer entre el núcleo y el conductor exterior?
    2. Si tenemos 2 m de cable RG-58/U ¿cuánto vale la carga máxima que se almacena en este condensador?
    3. ¿Cuánto vale la energía máxima almacenada en estos 2 metros de cable?

12 Corteza polarizada radialmente

Una corteza esférica de radio interior a y exterior b está hecha de dieléctrico polarizado según la ley
\mathbf{P} = \frac{k}{r}\mathbf{u}_{r}

No hay más cargas en el sistema

  1. Calcule las densidades de carga de polarización en el sistema. ¿Cuánto vale la carga total de polarización?
  2. Halle los campos \mathbf{D} y \mathbf{E} en todo el espacio.
  3. Determine el valor del potencial eléctrico en todo el espacio.

13 Esfera conductora rellena de dieléctrico con hueco

Una superficie esférica conductora ideal de pequeño espesor y radio 2a está rellena de un medio dieléctrico ideal homogéneo de permitividad \varepsilon=5\varepsilon_0/2, en cuyo centro hay un hueco de radio a. Estando la superficie conductora conectada a un potencial V0, el hueco es llenado con una nube de electrones cuya carga total es Q0. Suponiendo que esta carga se distribuye uniformemente en el hueco y que en el medio dieléctrico no hay carga libre, resuelva las siguientes cuestiones:

  1. Determine los campos \mathbf{E}, \mathbf{D} y \mathbf{P}, tanto en el interior como en el exterior de la esfera, antes y después de introducir la carga eléctrica en el hueco.
  2. Halle la densidad de carga libre y la total en la interfaz r = a y en la cara interior y la exterior de la superficie conductora, antes y después de llenar el hueco.
  3. Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema, antes y después de llenar el hueco.

14 Microtira situada entre dos placas

Sobre una placa metálica plana, de sección S (que supondremos en z = 0), se coloca una capa de dieléctrico de permitividad \varepsilon_1 con espesor a. Sobre esta capa se sitúa una lámina metálica, de sección S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una segunda capa de dieléctrico de permitividad \varepsilon_2 y espesor b. Por último, el sistema se cierra con una segunda lámina metálica de sección S.

Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1, V2 y V3, ¿Cuánto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos de borde (suponiendo \mathbf{E}=E\mathbf{u}_{z}) y los posibles campos exteriores al sistema.

15 Condensador relleno de un medio estratificado

Un medio estratificado es aquel cuyas propiedades dependen de la altura z. Un material de este tipo se coloca entre dos placas conductoras planas y paralelas, separadas una distancia a. La permitividad del material varía de \varepsilon_1 a \varepsilon_2 en la forma

\varepsilon(z)=
\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2a}{\varepsilon_1z+\varepsilon_2(a-z)}

Si se aplica una diferencia de potencial V0 entre las placas,

  1. ¿Cuánto valen los campos \mathbf{D}, \mathbf{E} y \mathbf{P} en todos los puntos del material?
  2. ¿Cuál es la densidad de carga de polarización (tanto superficial como de volumen)?
  3. Halle la energía almacenada en el sistema

Desprecie los efectos de borde.

16 Energía en un condensador con y sin dieléctrico

El espacio entre dos placas metálicas circulares de 26 cm de diámetro, situadas paralelamente a una distancia 2 mm está vacío.

Entre las placas se establece una diferencia de potencial de 20 V

  1. ¿Cuánto vale la energía almacenada en el sistema?
  2. Suponga que, una vez cargado el condensador se desconecta la fuente y se introduce entre las placas una lámina de metacrilato (\varepsilon_r = 3.3) de 2 mm de espesor. ¿Cuánto cambia la energía almacenada en el sistema? ¿Cómo se explica la diferencia?
  3. Suponiendo que el proceso anterior se hubiera efectuado sin desconectar la fuente, ¿cuál sería en ese caso la variación en la energía? ¿Cuánto trabajo realizaría la fuente de tensión?

17 Recipiente lleno hasta la mitad de dieléctrico

Se construye un recipiente cilíndrico, con bases perfectamente conductoras de sección S, separadas una distancia a, y paredes perfectamente dieléctricas, de espesor despreciable. El interior se llena hasta la mitad con un líquido dieléctrico y permitividad \varepsilon. El resto se deja vacío.

El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posición, se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0. Acto seguido se abre el circuito y, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90^\circ alrededor de un eje horizontal. ¿Cuál es la nueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Cómo varía la energía almacenada?

Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.

18 Condensador esférico relleno parcialmente de dieléctrico

Se tiene un condensador esférico, formado por dos superficies metálicas de radios a y b. Para mantenerla en su posición, la esfera central está sujeta por dos cuñas dieléctricas sólidas, de permitividad \varepsilon_1. Las cuñas tienen forma de sectores esféricos, valiendo el semiángulo \theta_0=\pi/3\, para las dos cuñas. El resto del espacio entre las esferas queda vacío.

Halle la capacidad de este condensador.

Imagen:Esferaconos.gif

19 Esfera dieléctrica en un campo externo

Supóngase que se tiene una esfera de radio R un material dieléctrico (de permitividad \varepsilon) alrededor de la cual hay vacío. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo eléctrico uniforme \mathbf{E}_0. Halle el potencial y el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.

Sugerencia: El campo eléctrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, aplique el resultado conocido para dicho caso.

Imagen:Esferacampoexterno.gif

20 Esfera conductora sumergida en dieléctrico

Una esfera conductora de radio a se encuentra conectada a una fuente de tensión de valor V0. La esfera se encuentra semisumergida en un líquido dieléctrico ideal de permitividad \varepsilon.

  1. Obtenga la expresión del potencial electrostático y del campo eléctrico en todo el espacio. Suponga que el potencial sólo depende de la distancia al centro de la esfera.
  2. Obtenga la expresión del vector desplazamiento en todo el espacio. Calcule la cantidad de carga libre en la esfera conductora.
  3. Determine las distribuciones de carga libre y de polarización que hay en el sistema descrito.
  4. Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema.
  5. Si, sin desconectar la fuente, se retira el líquido dieléctrico, ¿cuánto cambia la energía almacenada? ¿Cuánto trabajo realiza el generador?

21 Energía en una esfera conductora con dieléctrico

Una esfera metálica de radio R se encuentra aislada y almacena una carga Q. La esfera se encuentra en el vacío.

  1. Indique la energía almacenada en el sistema
  2. Suponga que, sin descargar la esfera, esta se recubre con una capa de espesor a de un dieléctrico de permitividad \varepsilon. Determine la nueva energía almacenada en el sistema. ¿Cómo se explica el cambio en la energía?
  3. Si en lugar de una esfera aislada y descargada tenemos una esfera conectada a un generador que fija su potencial en un valor V0, ¿cuál es la energía antes y después del recubrimiento? ¿Cómo se interpreta el cambio en este caso?

22 Fuerza entre conductores con dieléctricos entre ellos

En un sistema formado por dos esferas metálicas concéntricas de radios a y c, entre las cuales se encuentran dos medios dieléctricos, con una interfaz ecuatorial. Cuando el conductor interior almacena una carga Q, aparece una fuerza de atracción entre los electrodos, que está ausente si solo hay un medio dieléctrico que llene todo el espacio entre las placas. Se trata de calcular esta fuerza.
  1. Determine la densidad de carga libre en la superficie del electrodo interior.
  2. Halle el valor del campo eléctrico en los mismos puntos.
  3. La fuerza sobre un elemento de superficie conductora es \mathrm{d}\mathbf{F} = \sigma_l\mathbf{E}\,\mathrm{d}S/2. Integrando esta fuerza elemental, determine la fuerza neta sobre el electrodo interior. ¿Hacia donde va dirigida? ¿Cuál es el origen de esta fuerza?
  4. De forma análoga, calcule la fuerza sobre el electrodo exterior. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?

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