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Problemas de inducción electromagnética (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Problemas de boletín

1.1 Barra que avanza en un campo uniforme

Una barra metálica de longitud a=10\,\mathrm{cm} se mueve en el interior de un campo magnético uniforme \vec{B}_0 (B_0=10\,\mathrm{mT}) con velocidad constante \vec{v}, siendo \vec{v} perpendicular tanto al eje de la varilla como al campo magnético y de módulo v=1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

  1. Calcule la fuerza magnética sobre una carga q\, de la varilla. ¿Hacia donde se mueven las cargas positivas y negativas de la varilla?
  2. La separación de carga alcanza el equilibrio cuando la fuerza eléctrica debido a dicha separación compensa exactamente la fuerza magnética. Usando esto, halle el campo eléctrico en el interior de la varilla.
  3. Calcule el voltaje entre los extremos de la varilla.
  4. Calcule la f.e.m. inducida, de acuerdo con la ley de Faraday, a lo largo de una curva formada por la varilla y un cierre por el exterior del campo magnético. Compruebe que coincide con el voltaje calculado en el apartado anterior.

1.2 Espira cuadrada que gira en un campo magnético

Una espira cuadrada de lado a=2\,\mathrm{cm}, de hilo de cobre de sección A=0.5\,\mathrm{mm}^2 gira con frecuencia f=400\,\mathrm{Hz} en el interior de un campo magnético uniforme de módulo B_0=200\,\mathrm{mT}. El eje de giro es perpendicular al campo magnético.

Image:cuadradorotante.gif
  1. Determine la corriente que se induce en la espira.
  2. Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.

1.3 Frenado magnético de espira

Una espira cuadrada de lado a=10\,\mathrm{cm}, hecha de un hilo de cobre de sección A=1\,\mathrm{mm}^2 penetra en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la espira y de módulo B_0=30\,\mathrm{mT}. La espira se mueve inicialmente con velocidad v_0=0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} tangente a uno de sus lados y perpendicular al campo magnético. En t = 0 la espira entra en el campo.

Image:cuadradoenB.gif
  1. Calcule la corriente que se induce en la espira cuando la espira ha avanzado una distancia x\, y se está moviendo con velocidad v\,.
  2. Halle la fuerza que el campo magnético ejerce con la espira.
  3. Si la velocidad de la espira se mantiene constante, halle la potencia disipada en la espira por efecto Joule. ¿De dónde proviene la energía disipada?
  4. Si se deja que la espira frene por acción del campo magnético, determine la evolución en el tiempo de la velocidad, así como la energía total disipada por efecto Joule.


1.4 Circuito alrededor de un solenoide

Se tiene un solenoide largo de sección S\,, y densidad de espiras n por el cual circula una corriente variable en el tiempo I0(t). Dos voltímetros miden el voltaje entre dos puntos A\, y B\,, diametralmente opuestos, de un circuito formado por dos resistencias R_1\, y R_2\,, tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de los voltímetros. ¿Coincidirán éstas? ¿Por qué?

1.5 Anillo rotando en el campo de otro anillo

Se tienen dos anillos metálicos. Ambos anillos están centrados en el origen de coordenadas. Uno de ellos posee radio b y está situado en el plano XY. El otro, de radio a, está inclinado, de forma que su normal forma un ángulo θ con el eje Z. El radio b, es mucho mayor que a.

  1. Determine el coeficiente de inducción mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campo del anillo exterior a través del anillo interior (tenga en cuenta que éste es muy pequeño) cuando por el anillo exterior circula una corriente I1.
  2. Suponga que por el anillo exterior se hace circular una corriente constante I0. El anillo interior se hace girar en torno al diámetro común, de forma que el ángulo θ varía con velocidad constante ω.
    1. Despreciando los efectos de la autoinducción, halle la corriente que circula por el anillo interior.
    2. Calcule la energía disipada en este anillo durante un periodo de revolución. ¿De dónde procede esta energía?
Archivo:dos-anillos-girando.gif

1.6 Autoinducción e inducción mutua de bobinas

Dos solenoides cilíndricos muy largos se disponen concentricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud h\, y número de espiras N1 y N2, respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, a y b (a < b).

Image:dosbobinas.png
  1. Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
  2. Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.
  3. Suponga que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior de la exterior. ¿Cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?

1.7 Comportamiento de una bobina real

Con 20 m de hilo de cobre de 1 mm de diámetro se construye una bobina, arrollándola sobre un cilindro de cartón de 26 mm de diámetro. El hilo se enrolla densamente, sin dejar espacio entre vuelta y vuelta.

  1. Halle la resistencia de la bobina (conductividad del cobre: 5.96\times 10^{7}\mathrm{S}/\mathrm{m}).
  2. Calcule el coeficiente de autoinducción de la bobina.
  3. Suponga que se conecta la bobina a una fuente de continua de 1 V. ¿Qué campo magnético produce esta bobina en su interior?
  4. Calcule la energía magnética almacenada en la bobina y la potencia que disipa en cada instante por efecto Joule.
  5. Suponga que la bobina se conecta a la fuente anterior empleando un interruptor que se cierra en t = 0. ¿Cuánto tiempo tarda aproximadamente en establecerse la corriente continua?

1.8 Máquina eléctrica lineal

Un modelo sencillo de máquina eléctrica sería el siguiente. Se tiene un campo magnético uniforme \vec{B}=B_0\vec{k}. En el interior de este campo se halla un circuito formado por una fuente de corriente continua, de fuerza electromotriz \mathcal{E}_0 y resistencia r, dos raíles perfectamente conductores, situados paralelamente a una distancia b, y una barra de masa m, también perfectamente conductora, que desliza sin rozamiento por los raíles (ver figura).

Archivo:maquina-electrica-lineal.png
  1. Suponga que en un instante dado la barra se mueve con velocidad v alejándose de la fuente. ¿Qué intensidad de corriente circula por ella? ¿Qué fuerza se ejerce sobre ella? ¿Para qué valor de la velocidad, v0, esta intensidad de corriente es nula?
  2. Demuestre que si la velocidad de la barra es v < v0, la barra tiende a acelerarse, mientras que si es mayor tiende a frenarse, por lo que la barra tiende a moverse con velocidad constante.
  3. Suponga que inicialmente el circuito está abierto, la barra en reposo, y en t = 0 se cierra el interruptor. Aplicando los resultados del primer apartado, determine la ecuación de movimiento para la barra. Resuelva esta ecuación mostrando que la barra sale disparada con una velocidad que tiende a ser constante. Este sería un cañón electromagnético railgun.

2 Problemas adicionales

2.1 Inducción en espira cuadrada

Con 2 m de un fino cable de cobre (\sigma = 5.96\times 10^{7}\mathrm{S}/\mathrm{m}) de sección circular de 0.10 mm de diámetro se construye una espira de forma cuadrada. Esta espira se coloca perpendicularmente a un campo magnético

\vec{B}=B_0\cos(\omega t)\vec{k}

con B_0 = 100\,\mathrm{mT} y \omega = 100\pi\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}.

  1. Calcule la fuerza electromotriz inducida como función del tiempo.
  2. Halle la corriente que circula por la espira como función del tiempo.
  3. Determine la potencia disipada por efecto Joule en el hilo como función del tiempo.
  4. Calcule la energía total disipada por efecto Joule a largo de un periodo de oscilación del campo magnético.

Despréciese la autoinducción de la espira.

3 Preguntas de test

3.1 Corriente inducida en una espira

Una espira circular de radio b, resistencia R y autoinducción despreciable, situada en el plano XY, se encuentra sumergida en un campo magnético uniforme que varía en el tiempo como un pulso gaussiano

\vec{B}=B_0\mathrm{e}^{-(t/T)^2}\vec{k}
Archivo:corriente-inducida-espira.png

¿Cuál de las siguientes cuatro figuras describe correctamente la corriente que circula por la espira, considerada en sentido antihorario alrededor del eje Z?

A B
C D

3.2 Comparación de bobinas

¿Cuál de las siguientes bobinas tiene un mayor coeficiente de autoinducción?

  • A Una de 300 vueltas, 15 cm de longitud y 2 cm de diámetro.
  • B Una de 200 vueltas, 8 cm de longitud y 1 cm de diámetro.
  • C Una de 500 vueltas, 30 cm de longitud y 2 cm de diámetro.
  • D Una de 400 vueltas, 20 cm de longitud y 1 cm de diámetro.

3.3 Espira en forma de escuadra

Una espira en forma de escuadra con resistencia R y autoinducción despreciable penetra en un campo magnético uniforme con una velocidad paralela a uno de sus catetos.

Archivo:espira-escuadra-campo.png

Si la velocidad de la espira es constante, ¿como es la corriente que se induce en ella mientras va entrando?

  • A Tiende exponencialmente a un valor constante
  • B Permanece constante.
  • C Aumenta linealmente con el tiempo.
  • D Aumenta cuadráticamente con el tiempo.

¿Y la fuerza magnética sobre la espira?

  • A Permanece constante.
  • B Tiende exponencialmente a un valor constante
  • C Aumenta linealmente con el tiempo.
  • D Aumenta cuadráticamente con el tiempo.

3.4 Flujo magnético variable

La figura representa el flujo magnético a través de una espira de resistencia R=100\,\Omega y autoinducción despreciable, como función del tiempo.

¿En cuál de los siguientes instantes es mayor, en valor absoluto, la corriente que circula por la espira?

  • A En t = 8\,\mathrm{s}
  • B En t = 4\,\mathrm{s}
  • C En t = 10\,\mathrm{s}
  • D En t = 6\,\mathrm{s}

3.5 Inducción mutua entre dos espiras

Se colocan a una cierta distancia dos espiras iguales,de resistencia R. Cuando por la inferior pasa una corriente I1, el flujo magnético a través de la superior es MI1.

Por la inferior se hace pasar la corriente

I_1(t) = \begin{cases} 0 & |t| > T \\ \dfrac{I_0(T-|t|)}{T} & |t| < T\end{cases}

¿Qué energía total se disipa en la espira inferior en -\infty < t < \infty?

  • A Es nula.
  • B I0(T − | t | )2R / T2.
  • C 2I_0^2RT/3
  • D I0R2T

¿Cuánta energía se disipa en la espira superior en el mismo tiempo?

  • A 2I_0^2RT
  • B Es nula.
  • C 2M^2I_0^2/(RT)
  • D 2MI0R2T

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