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Problemas de electrostática en presencia de conductores

De Laplace

Contenido

1 Capacidad de una esfera

Una esfera metálica de radio a se encuentra a potencial V0 respecto al infinito. No hay más conductores en el sistema. Determine el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos del espacio, así como la carga almacenada en la esfera conductora.

Imagen:1esferaconductora.gif

2 Potencial eléctrico fuera de un conductor

En el exterior de una esfera conductora puesta a tierra se encuentra una cierta densidad de carga eléctrica de forma que el potencial eléctrico en el exterior de la esfera tiene la expresión

\phi(r) = \frac{V_0a}{r}-\frac{V_0a^2}{2r^2}

y es nulo en su interior.

  1. Determine el radio de la esfera conductora.
  2. Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
  3. Calcule las densidades de carga que son fuentes de este campo.
  4. Halle la carga total de la distribución.
  5. Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema.

3 Dos esferas conductoras conectadas

Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios R1 y R2 (R1 < R2), muy alejadas entre sí (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cable conductor ideal. El conductor almacena una carga Q.

  1. ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada?
  2. ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo eléctrico en la superficie?
Imagen:dosesferashilo.png

4 Dos conductores enfrentados

Se colocan enfrentados dos conductores metálicos de forma arbitraria. No hay más conductores ni cargas en el sistema. Halle el signo de las dos cargas y los dos potenciales (indicando si alguno es nulo) en las configuraciones siguientes:

  1. El conductor “1” está conectado a una fuente de tensión V0 > 0 y el “2” está aislado y descargado.
  2. El conductor “1” a una tensión V0 > 0 y el “2” puesto a tierra.
  3. El conductor “1” almacena una carga Q0 > 0 y el “2” está aislado y descargado.
  4. El conductor “1” almacena una carga Q0 > 0 y el “2” está a tierra.

5 Conductores esféricos concéntricos

Se tiene un sistema de dos conductores. Uno de ellos es una esfera metálica maciza de radio a. El otro es una fina corteza esférica metálica, de radio b, concéntrica con la anterior. Calcule el potencial en todos los puntos del espacio en los casos siguientes.
  1. La esfera interior se encuentra a potencial V1 y la exterior a potencial V2.
  2. La esfera interior almacena una carga Q1 y la exterior una carga Q2.
  3. La esfera interior almacenada una carga Q1 y la exterior se encuentra a un potencial V2.
  4. Calcule asimismo la energía almacenada en el sistema de dos esferas, para las tres situaciones indicadas.

6 Superficies esféricas concéntricas cargadas

Dos superficies conductoras ideales, esféricas y concéntricas de radios a y 2a y espesor despreciable, están cargadas eléctricamente de manera uniforme, siendo σ0 y + σ0 los valores netos de las respectivas densidades superficiales de carga.
  1. Obtenga las expresiones del campo eléctrico en las regiones interior, intermedia y exterior a las dos esferas. Determine cómo son las densidades superficiales de carga eléctrica en las caras interior y exterior de cada una de las superficies conductoras.
  2. Calcule el valor del potencial eléctrico en dichas superficies, así como la energía electrostática almacenada por el sistema.
  3. Suponga que se conectan las superficies por un fino hilo conductor. En la nueva situación de equilibrio, ¿cuánto valen el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio?
  4. Calcule la variación en la energía electrostática almacenada, como consecuencia de la conexión anterior. ¿Cómo se explica este cambio en la energía?

7 Condensador esférico

Halle la capacidad de un condensador formado por dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b).

Imagen:condensadoresferico.png

8 Tres conductores esféricos concéntricos

Se tienen un sistema formado por un conductor esférico “1” de radio 36 mm, una corona esférica “2” de radio interior 45 mm y exterior 60 mm y una corona esférica “3” de radio interior 120 mm y exterior 180 mm. Los tres conductores son concéntricos. No hay más conductores en el sistema.

  1. Suponiendo, en primer lugar, que los conductores se encuentran respectivamente a tensiones V1, V2 y V3 genéricas, diseñe el circuito equivalente mínimo y calcule los coeficientes de capacidad e inducción del sistema.
  2. Suponga el caso particular de que la esfera interior esté a tierra, la corona central esté aislada y almacene una carga de 6 nC y la exterior esté aislada y descargada. ¿Cuánto valen, en ese caso las cargas y tensiones de cada una de los tres conductores?
  3. Si en la situación anterior se conecta la corona exterior a tierra, ¿cuáles son las nuevas cargas y tensiones una vez que se alcanza el nuevo equilibrio electrostático?
  4. ¿Cuánto varía la energía almacenada en el sistema en el proceso anterior?

9 Condensador coaxial

Un cilindro macizo de gran longitud h y radio a se encuentra rodeado de una corteza cilíndrica concéntrica, la misma longitud L, radio interior b y exterior c, también metálica.

La corteza exterior se encuentra permanentemente a tierra.

Determine la distribución de potencial y de campo eléctrico entre los dos cilindros cuando el cilindro interior se encuentra a potencial V0. Calcule la carga almacenada en el cilindro interior.

Desprecie los efectos de borde.

10 Condensador plano

Dos placas conductoras cuadradas de lado L se sitúan paralelamente a una distancia a la una de la otra (a\ll L). Los potenciales de ambas placas son V1 y V2, respectivamente. Calcule el valor aproximado de
  1. El potencial en los puntos entre ambas placas.
  2. El campo eléctrico en el espacio intermedio.
  3. La carga almacenada en la caras de las placas enfrentadas a la otra placa.

Desprecie los efectos de borde.

11 Dos placas conductoras y una densidad de carga intermedia

Dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección S, se encuentran situadas a una distancia a la una de la otra. La placa inferior se pone a una tensión V0, mientras que la superior se encuentra a tierra. El espacio entre las placas está ocupado por una capa de un material cargado con una densidad uniforme ρ0.

  1. Determine el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos entre las placas.
  2. Calcule la energía eléctrica almacenada en el sistema.
  3. Halle la fuerza sobre las placas y sobre el material intermedio.

12 Una esfera conductora rellena de una densidad de carga

Una superficie esférica conductora de radio R, puesta a tierra, contiene en su interior una distribución de carga no uniforme, cuya densidad de carga es de la forma
\rho =\begin{cases}A r(R-r) & (r< R) \\ 0 & (r>R)\end{cases}
  1. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
  2. Calcule el valor de la carga almacenada en la esfera conductora.
  3. Halle el potencial eléctrico en el centro de la esfera.
    1. A partir del campo eléctrico.
    2. Por integración directa a partir de las densidades de carga.
  4. Halle la energía electrostática almacenada en el sistema.

13 Corteza esférica conductora con distribución concéntrica

Una corteza conductora esférica cuyos radios interior y exterior valen 3a y 6a respectivamente, es concéntrica con una esfera de radio 2a cargada uniformemente en volumen con una densidad de carga ρ0.
  1. Para el caso de que la corteza esté aislada y descargada, obtenga la expresión del campo eléctrico en todo el espacio, así como las densidades de carga en la corteza conductora.
  2. Si el conductor se conecta a tierra, ¿cuál es la nueva expresi´on del campo en todo el espacio? ¿Cuál es ahora la distribución de carga en el conductor?
  3. ¿Qué cambio experimenta la energía electrostática del sistema al pasar de la situación del apartado (a) a la del apartado (b)?

14 Esfera conductora con dos huecos esféricos

En una esfera metálica de radio R se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio R / 2. Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio R / 4. No hay más conductores en el sistema.

Suponga que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada; una de las esferas interiores se encuentra aun potencial V0 y la otra se encuentra a tierra. ¿Cuál es la carga en cada conductor? ¿Y el potencial?

Halle la energía almacenada en el sistema.

15 Sistema de cuatro conductores prismáticos

Se tiene un sistema de cuatro conductores tal como se indica en la figura. Uno de ellos (conductor “4”) es un prisma cuadrado hueco de lado 43 mm y longitud 50 mm. Este conductor se encuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores. El conductor “1” es un paralelepípedo de lados 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los conductores “2” y “3” son sendos prismas cuadrados de lado 20 mm y altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

  1. Teniendo en cuenta la pequeñez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamente, las cargas que almacenan los conductores 1, 2 y 3, cuando sus tensiones son V_1=10\,\mathrm{V}, V_2=20\,\mathrm{V} y V_3=-10\,\mathrm{V}.
  2. Para la configuración anterior, calcule la energía electrostática almacenada en el sistema.
  3. Si el conductor 1 se encuentra a tensión V_1=100\,\mathrm{V}, el 2 aislado y descargado y el 3 a tierra, ¿cuáles son las cargas y los potenciales de los tres conductores? ¿Y la energía electrostática almacenada en el sistema?

16 Sistema simétrico de cuatro conductores

Considere el sistema de cuatro conductores de la figura. Está formado por cuatro superficies esféricas situadas dos dentro de las otras dos (no concéntricamente). En este sistema, los conductores 1 y el 2 son simétricos con el 4 y el 3, respectivamente.

Para este sistema, ¿qué coeficientes de capacidad e inducción son nulos? ¿Cuáles positivos? ¿Cuáles negativos? ¿Cuáles iguales entre sí?

Suponga que mediante finos hilos conductores se conecta el conductor 1 con el 3, y el 2 con el 4 (estos cables atraviesan, sin hacer contacto, los conductores 2 y 3). ¿Cómo queda la nueva matriz de capacidades a partir de la matriz del sistema original?

17 Corteza con dos esferas dentro

Se tiene un sistema de tres conductores. Dos de ellos son esferas idénticas (“1” y “2”), de radio 1 cm cuyos centros distan una distancia de 3 cm. Estas dos esferas se encuentran situadas simétricamente en el hueco de una fina corteza esférica (“3”), de radio 4 cm. No hay más conductores en el sistema.

Experimentalmente se encuentra que cuando una de las dos esferas interiores se encuentra a potencial de 1 V y la otra y la corteza están a tierra, la carga en la esfera a potencial 1 V es de 1.632 pC, mientras que la de la esfera a tierra es de −0.256 pC.

  1. Determine la matriz de coeficientes de capacidad e inducción del sistema de conductores, así como las capacidades de los condensadores del circuito equivalente.
  2. Si la esfera interior 1 se encuentra a 10 V, mientras que la 2 y la corteza exterior están aisladas y descargadas ¿cuánto vale la carga y el potencial de cada conductor? ¿Y la energía electrostática almacenada?
  3. Suponga que, en la situación anterior, primero se desconecta la esfera 1 de la fuente, y a continuación se conecta la esfera 2 a tierra. ¿En cuánto disminuye la energía almacenada?

18 Cuatro planos conductores paralelos

Se tiene un sistema formado por cuatro placas conductoras, todas ellas cuadradas y de lado L, situadas paralelamente. Las distancias entre placas consecutivas son, respectivamente, a, 3a y 2a (a\ll L).

Las placas exteriores se encuentran a tierra en todo instante.

  1. Inicialmente la segunda placa almacena una carga Q, mientras que la tercera está aislada y descargada. determine el potencial al que se encuentra cada placa, así como la carga que almacena cada una.
  2. Para el caso anterior, determine el campo eléctrico en todos los puntos entre las placas.
  3. Si ahora se conectan las dos placas intermedias, ¿cómo cambian las cargas y los potenciales de las distintas placas? ¿Y los campos eléctricos entre las placas?
  4. Determine la variación de energía entre el estado anterior y el posterior a la conexión.

19 Cuatro planos y fuente de tensión

Se tiene un sistema formado por cuatro placas cuadradas de lado L, situadas paralelamente a una distancia a cada una de la siguiente. Entre las placas hay vacío.

Las dos placas exteriores (“1” y “4”) se encuentran permanentemente a tierra.

  1. Inicialmente, la placa 2 se encuentra conectada a un generador e tensión V0 mientras que la 3 está aislada y descargada. Calcule el campo eléctrico en cada una de las tres regiones, la carga y el voltaje de las cuatro placas en este estado, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
  2. De forma abrupta, sin dar tiempo a que las placas se descarguen, el interruptor se pasa de la posición A la B, pasando la fuente a estar conectada a la placa 3. Halle los nuevos valores de los campos, las cargas, las tensiones y la energía almacenada una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático.
  3. Suponga que a la salida de la fuente de tensión se coloca un amperímetro y un integrador, de forma que se puede saber la carga que pasa por el cable durante el periodo transitorio. ¿Qué valor dará esta lectura? ¿Qué trabajo realiza la fuente durante este periodo transitorio?

20 Cinco planos conductores

Cinco placas cuadradas de lado L, conductoras, se encuentran en la disposición indicada en la figura. La distancia entre cada par de placas paralelas es a (a\ll L).

Las dos placas exteriores se encuentran permanentemente a tierra, de forma que funcionan como referencia de potencial.

En todo momento, la segunda placa se encuentra puesta a potencial V0 mientras que la cuarta almacena una carga Q0. La placa central se encuentra aislada y descargada.

  1. Considerando el sistema de 3 conductores formado por las tres placas intermedias, halle la matriz de coeficientes de capacidad,
  2. Halle la carga almacenada en cada una de las cinco placas cuadradas, así como la tensión de cada una.
  3. Calcule la energía electrostática del sistema.
  4. Calcule el valor del campo eléctrico en cada uno de los condensadores que se forman.
  5. Si la placa central se conecta a tierra, ¿cómo cambian las cargas, los voltajes y la energía almacenada?

Desprecie los efectos de borde.

21 Discos conductores en el interior de corteza esférica

La figura representa la sección transversal de un sistema de tres conductores consistente en una corteza esférica de radio \displaystyle a (conductor 3), en cuyo interior hay dos discos paralelos de radio \displaystyle a/2 (conductores 1 y 2), separados por una distancia \displaystyle a/16 y simétricamente dispuestos respecto del plano ecuatorial del conductor esférico. Inicialmente todo el sistema está conectado a tierra. En un determinado instante, sólo la corteza se conecta a una fuente de potencial \displaystyle V_0 y se comprueba que la energía electrostática del sistema ha sufrido una variación ΔUe = W0.
  1. Diseñe el circuito equivalente e indique los valores de las capacidades que puedan ser conocidos analíticamente. ¿Qué capacidades no poseen expresión analítica sencilla?
  2. A partir de la energía \displaystyle W_0, determine el valor de las cargas eléctricas totales en los tres conductores y obtenga las capacidades desconocidas.
  3. Obtenga la matriz de coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema de conductores.
  4. Calcule la nueva configuración de cargas y potenciales y la energía del sistema cuando se aíslan los discos 1 y 2, y el conductor 3 se vuelve a conectar a tierra.

22 Dos planos y tres superficies esféricas

Dos discos conductores de radio R = 15\,\mathrm{cm}, paralelos y separados una distancia a=1\,\mathrm{mm} están conectados a sendas esferas conductoras, también de radio R, mediante unos hilos conductores muy largos. Una de las esferas está completamente rodeada por una carcasa conductora esférica, conectada a tierra, de radio 2R = 30\,\mathrm{cm}, espesor despreciable, y concéntrica con la esfera. El sistema de conductores se encuentra en el vacío.

  1. Determine la matriz de coeficientes de capacidad del sistema en función de sus parámetros geométricos. Justifique las aproximaciones que haga.
  2. Estando el sistema inicialmente descargado, se conecta la esfera sin carcasa a una fuente de potencial fijo V_0 = 100\,\mathrm{V}. Determine la carga eléctrica en cada una de las superficies conductoras (esferas, discos y carcasa esférica) cuando el sistema ha alcanzado el equilibrio electrostático.
  3. Para la situación anterior, determine la energía almacenada en el sistema.
Imagen:2planos3esferas.gif

23 Distribución de carga dentro de esferas conductoras

Una esfera de radio R posee una carga Q1 distribuida en su volumen de modo que la densidad volumétrica es ρ(r) = Ar. A su alrededor se disponen dos superficies esféricas metálicas concéntricas, de radios 2R y 4R, respectivamente. Estas esferas están aisladas y descargadas.

  1. Calcule la constante A en función de la carga de la esfera y de su radio.
  2. Calcule el campo eléctrico en todo el espacio y el potencial al que se encuentran las esferas conductoras.
  3. Se conectan las dos esferas conductoras entre sí. ¿Cuál es el nuevo potencial y la nueva carga de cada esfera?

24 Esfera con hueco relleno de carga

Una esfera conductora de radio R tiene un hueco, también esférico, de radio R / 2, no siendo el hueco concéntrico con la esfera (sea a la distancia entre centros). Inicialmente la esfera se encuentra aislada y descargada.

  1. Obtenga las expresiones del campo eléctrico y del potencial en todos los puntos del espacio cuando en el hueco se introduce una carga Q0 distribuida uniformemente en el volumen del hueco.
  2. Manteniendo esta carga en el hueco, la superficie de la esfera conductora se conecta a una fuente de potencial de valor V0. ¿Cuánto valen el campo y el potencial en todo el espacio una vez que se alcanza el equilibrio electrostático?
  3. ¿Cuánta carga aporta el generador en el paso anterior?

25 Dos hemisferios y una corteza esférica

Suponga el sistema de la figura, formada por una corteza esférica (conductor “1”) de radio interior b y exterior c. En su interior hay dos conductores prácticamente semiesféricos (“2” y “3”), de radio a y separados una pequeña distancia w.

Halle los coeficientes de capacidad e inducción del sistema. Desprecie los efectos de borde.

26 Dos hemisferios y una lámina conductora

Se tiene un sistema formado por dos conductores hemisféricos de radio R. Estas dos semiesferas están separadas una pequeña distancia 2a (a\ll R). En el espacio entre las dos semiesferas se encuentra una fina chapa circular de radio R y separada una distancia a de cada hemisferio.

Las dos semiesferas están conectadas por un hilo conductor en todo momento.

  1. Suponga que la chapa se encuentra a una tensión V0 mientras que el conjunto de las dos semiesferas está aislado y descargado. ¿Cuánto valen la cargas almacenadas y las tensiones de cada conductor?
  2. Para el caso anterior de las expresiones aproximadas para el campo entre la chapa y los hemisferios, y en el exterior de estos.
  3. Calcule la energía electrostática almacenada en este sistema.
  4. Suponga que se desconecta la fuente V0 y, acto seguido, se ponen los hemisferios a tierra. ¿Cuáles son las nuevas cargas, tensiones y energía almacenada?

Desprecie los efectos de borde.


27 Un disco y dos semidiscos paralelos

Un disco y un semidisco, ambos conductores y de igual radio b –que denominaremos conductores “0” y “1”, respectivamente– se hallan en sendos planos paralelos separados una distancia a. Un segundo semidisco –conductor “2”–, también de radio b se encuentra entre los conductores anteriores, a igual distancia a/2 de éstos. Los semidiscos no están alineados, sino que sus diámetros forman un ángulo α=60º (véase la figura). Las dimensiones son tales que b es mucho mayor que a de manera que, cuando el sistema se carga eléctricamente, las superficies conductoras enfrentadas pueden considerarse en influencia total, despreciándose los efectos de borde.
  1. Teniendo en cuenta esta aproximación, determine las capacidades eléctricas de los distintos condensadores que forman el sistema de conductores descrito.
  2. Tomando el disco completo como conductor de referencia (siempre conectado a tierra), obtenga el circuito equivalente y calcule la matriz de coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema.
  3. Con el conductor “0” conectado a tierra y el “2” descargado y aislado, se conecta el conductor “1” a una fuente de potencial V0. Calcule la carga eléctrica en el conductor “1” y el potencial en el conductor “2”.
  4. Halle la energía electrostática del sistema en la configuración anterior.

28 Dos cargas en sendos lados de un plano conductor

Dos cargas, + q y q, se sitúan en los puntos \mathbf{r}_1=2a\mathbf{u}_{x} y \mathbf{r}_2=-2a\mathbf{u}_{x}+3a\mathbf{u}_{z}, respectivamente.

  1. Calcule la fuerza que experimenta cada carga y el trabajo necesario para traerlas desde el infinito hasta su posición final.
  2. Suponga que se introduce un plano conductor, puesto a tierra, en x = 0. Halle la nueva fuerza que experimenta cada carga, así como la que sufre el plano conductor.
  3. Calcule el trabajo necesario para introducir el plano.

29 Una nube frente al plano de tierra

Una nube de tormenta puede modelarse como un conjunto de dos cargas puntuales, \pm q, estando la carga positiva en su parte superior y la negativa en la inferior. La altura media de la nube es h0 y el espesor de la nube Δh. Puede suponerse que \Delta h\ll h_0.

Para medir el momento dipolar de la nube, se coloca una carga q1 sujeta a un dinamómetro en un punto sobre el plano de tierra (la carga puede suponerse en z = 0 + ), situado a una distancia x de la vertical de la nube.

  1. Halle la fuerza que se mide, para una distancia x dada.
  2. La nube, en su movimiento, modifica la distancia del observador a la vertical de la nube. Describa como varía la fuerza con x y halle para que valor de x es máxima la fuerza, así como este valor máximo.
  3. Si h_0=1\,\mathrm{km}, \Delta h=50\,\mathrm{m}, q_1= 10\,\mu\mathrm{C} y la fuerza máxima medida es de 0.2mN, calcule la carga almacenada en cada extremo de la nube.

30 Carga puntual frente a una esfera conductora con potencial fijado

Sea una superficie esférica, de radio R, de material conductor, puesta a potencial V0, conocido, frente a la cual se encuentra una carga puntual q, situada en el punto \mathbf{r}_0 (siendo \mathbf{r}=\mathbf{0} el centro de la esfera).

  1. Determine el potencial en todos los puntos del espacio, interiores y exteriores a la esfera.
  2. Halle la fuerza que sufre la carga puntual.

31 Carga puntual frente a una esfera conductora con carga fijada

¿Cómo cambian los resultados del problema de una carga frente a una esfera si en lugar de estar fijado el potencial de la esfera, se sabe que ésta está aislada y almacena una carga Q?

¿Cuánto vale la fuerza sobre la carga q si la esfera está descargada?

¿Cómo varía con la distancia la fuerza que la esfera ejerce sobre la carga si Q es del mismo signo que q?

32 Carga en un hueco conductor esférico

¿Cómo cambian los resultados de los dos problemas de una carga frente a una superficie esférica, con potencial fijado y con carga fijada, si la carga puntual se encuentra en el interior de un hueco esférico?

33 Bloque entre dos placas conductoras

Dos placas conductoras planas y paralelas cuadradas, de lado L, se encuentran separadas una distancia 2b (2b\ll L). Entre ellas, y equidistante de ambas se encuentra un prisma conductor de anchura 2a, también de sección cuadrada de lado L.

El bloque posee una carga total Q0. Entre las placas se establece una diferencia de potencial V0

  1. Calcule la carga en cada uno de los condensadores que forma el bloque con las placas.
  2. Halle la energía almacenada en el sistema.
  3. Calcule el valor del campo en cada uno de los espacios intermedios entre bloque y placas.
  4. Halle la presión electrostática sobre las caras del bloque, así como la fuerza total sobre éste.
  5. Calcule los valores numéricos de los resultados anteriores para L = 2cm, a = 2mm, b = 3mm, V0 = 100V, Q0 = 10nC.

34 Cubo entre cuatro placas conductoras

Cuatro placas cuadradas de lado L=2\,\mathrm{cm}, conductoras, se encuentran en la disposición cuadrada indicada en la figura.

Entre las cuatro placas, centrado, se encuentra un cubo conductor, de arista L=2\,\mathrm{cm}, situado a una distancia a=1\,\mathrm{mm} de cada placa. El cubo está descargado en todo momento.

Si las cuatro placas se conectan a sendos generadores que fijan tensiones V_1=-10\,\mathrm{V}, V_2=20\,\mathrm{V}, V_3= 30\,\mathrm{V}, V_4=40\,\mathrm{V}

  1. Halle la carga almacenada en cada una de las placas cuadradas.
  2. Calcule la energía electrostática del sistema.
  3. Calcule el valor del campo en cada uno de los condensadores que se forman.
  4. Halle la presión electrostática en cada cara del cubo enfrentada a una placa, así como la fuerza electrostática total sobre el cubo.

Despréciense los efectos de borde y los debidos a las caras del cubo no enfrentadas a una placa.

35 Prisma entre placas conductoras

Se tiene el sistema de la figura, formado por un prisma triangular (“4”), cuya base es un triángulo equilátero de lado L, y cuya altura es también L. Este prisma está conectado a tierra. Frente a él se encuentran tres placas cuadradas de lado L situadas a distancia a, 2a y 3a (a\ll L), respectivamente. Las placas “1” y “3” se conectan a un voltaje V0, mientras que la “2” almacena una carga Q0
  1. Halle la matriz de coeficientes de capacidad en este sistema de cuatro conductores. Desprecie los efectos de borde.
  2. Calcule la carga y el potencial de cada placa, así como la energía total del sistema.
  3. Calcule la presión electrostática en cada cara del prisma. A partir de la presión, halle la fuerza neta sobre el prisma.

36 Tres superficies conductoras esféricas concéntricas

El sistema de la figura está formado por tres superficies conductoras esféricas concéntricas de espesor despreciable y radios a, a / 2 y a / 3. Las superficies de mayor y menor radio están conectadas por un hilo conductor, formando el conductor “1”, que puede conectarse a una fuente de potencial V0. Dicho hilo pasa a través de un orificio practicado en la superficie de radio a / 2 (conductor “2”), sin tocarla. Otro hilo conductor permite conectar esta superficie intermedia con la fuente de potencial V0 a través de otro orificio existente en al superficie esférica exterior. El espesor de los hilos y el tamaño de los orificios son despreciables frente al tamaño de las superficies.

  1. Obtenga un circuito equivalente para el sistema de conductores descrito y calcule su matriz de coeficientes de capacidad.
  2. Estando el conductor “1” descargado, se conecta el “2” a la fuente de potencial. Determine la carga eléctrica que se localiza en este conductor y el potencial a que se encuentra el “1”.
  3. Posteriormente, el conmutador del sistema conecta la fuente al conductor “1”, desconectándola del “2”. Calcule las cargas y los potenciales en los conductores para esta nueva situación. Especifique la cantidad de carga almacenada en cada una de las caras de las tres superficies esféricas.
  4. Determine la energía suministrada por la fuente en los procesos descritos en los apartados anteriores.

37 Fuerza sobre una partícula semiesférica

Se trata de hallar el campo eléctrico necesario para elevar en el aire una partícula metálica que reposa sobre un plano a tierra. La partícula conductora la podemos modelar como un hemisferio de radio a. Existe un campo eléctrico impuesto que, en puntos alejados de la semiesfera, es uniforme y perpendicular al plano conductor, \mathbf{E}_\infty = E_0\mathbf{u}_{z}.

El potencial en todos los puntos por encima del plano y la partícula es de la forma

\phi = -E_0 z + \frac{A\cos\theta}{r^2}        (z>0,\ r>a)

siendo r la distancia al centro de la semiesfera.

  1. Determine el valor de A que hace que se satisfagan todas las ecuaciones y condiciones de contorno.
  2. Halle la densidad de carga en la superficie de la semiesfera.
  3. Calcule la presión electrostática en la superficie de la partícula. A partir de esta presión, halle la fuerza eléctrica sobre la partícula, empleando la relación \mathrm{d}\mathbf{F} = p\,\mathrm{d}\mathbf{S}.
  4. Si la partícula es de aluminio y su radio vale a=1\,\mathrm{mm}, ¿qué campo es preciso para levantar esta partícula?

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