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Problemas de dinámica vectorial (CMR2)

De Laplace

Contenido

1 Oscilador armónico tridimensional

Una partícula se mueve en tres dimensiones de forma tal que verifica la ecuación del oscilador armónico

m\vec{a}=-k\vec{r}

con k=m\omega_0^2 y \omega = 2.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}. Su posición inicial es \vec{r}_0=5\,\vec{\imath}\ (\mathrm{m}).

  1. Para el caso \vec{v}_0=\vec{0}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
  2. Para el caso \vec{v}_0=10.0\,\vec{\jmath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, ¿cómo es la trayectoria? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
  3. Suponga ahora que \vec{v}_0=8.0\,\vec{\jmath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, ¿cómo es ahora la trayectoria de la partícula?
  4. Demuestre que en todos los casos la cantidad calculada en coordenadas polares m\rho^2\dot{\theta}\vec{k} es constante.

2 Dos masas unidas por un muelle

Dos masas m1 y m2 se mueven a lo largo del eje OX unidas por un resorte de constante k y longitud natura \ell_0. Inicialmente las dos masas se encuentran en reposo en x10 = 0 y x_{20}=\ell_0. Entonces se le comunica a la masa m1 una velocidad v0 en el sentido positivo del eje.

  1. Determine dos constantes de movimiento.
  2. Calcule la posición de cada una de las masas como función del tiempo. Sugerencia: realice el cambio de variables x_G=(m_1 x_1+m_2 x_2)/(m_1+m_2)\,, x=x_2-x_1-\ell_0.

3 Dos masas unidas por un oscilador armónico

Suponga que en el problema “Oscilador armónico tridimensional” en lugar de una sola partícula tenemos dos, de masas m1 y m2, unidas por un resorte de constante k y longitud natural nula. Inicialmente la masa 1 se halla en reposo en el origen de coordenadas y la masa 2 se encuentra en \vec{r}_{20}=A\vec{\imath} moviéndose con velocidad \vec{v}_{20}=v_0\vec{\jmath}.

  1. Demuestre que el centro de masas de las dos partículas describe un movimiento rectilíneo y uniforme.
  2. Considerando la posición de cada partícula respecto al CM, determine la posición de cada una de ellas como función del tiempo.

4 Movimiento a partir de una fuerza conocida

Una partícula material de masa m parte del origen de coordenadas con velocidad \vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}, encontrándose sometida en todo momento a la fuerza dependiente de la posición

\vec{F}(x,y,z)=Az\vec{\imath}-By\vec{\jmath}+C\vec{k}

siendo \vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k} la posición instantánea de la partícula, y A, B y C constantes positivas conocidas.

Calcule la posición, velocidad y aceleración instantáneas de la partícula para todo instante de tiempo, t.

5 Doble máquina de Atwood

La doble máquina de Atwood de la figura está formada por tres masas unidas a través de dos cuerdas ideales (inextensibles y sin masa) y dos poleas también ideales (de masa despreciable y sin rozamiento). Determine la aceleración de cada una de las masas, así como las tensiones de las dos cuerdas.

Archivo:doble-maquina-atwood.png

6 Péndulo en caja deslizante

Una caja cúbica de gran masa desciende sin rozamiento por un plano inclinado un ángulo β. En el interior de la caja se encuentra un péndulo (de masa mucho menor que la de la caja) que cuelga de su techo.

  1. Si el péndulo no oscila, determine el ángulo θ que forma el péndulo con la vertical.
  2. Suponga ahora que entre la caja y el plano hay una fricción dinámica de coeficiente μ. Determine el ángulo de inclinación en ese caso.
  3. Para los dos casos anteriores, supóngase que el péndulo se separa ligeramente de su posición de equilibrio, ¿cuál será la frecuencia de las oscilaciones que experimenta?

7 Anilla ensartada en un aro

Se tiene un aro circular de radio R situado verticalmente. Determine la velocidad que debe comunicarse a una partícula de masa m situada en el punto más bajo del aro para que sea capaz de llegar hasta el punto más alto si la partícula es:

  • Una anilla ensartada en el aro
  • Una bolita que desliza por el interior del aro, sin estar unida a él.
  1. Calcule la reacción que ejerce el aro sobre la partícula en el punto más bajo y en el más alto, para los dos casos anteriores. Desprecie el rozamiento en todos los casos.
  2. Para el caso (b), suponga que a la partícula se le comunica la velocidad inicial calculada en (a), ¿en qué punto se desprende del aro?

8 Partícula que sale despedida de una semiesfera

Una partícula de masa m se encuentra en lo alto de una cúpula hemisférica de radio R, sobre la cual la masa puede deslizar sin rozamiento. La semiesfera está rígidamente unida a una superficie horizontal. La masa está sometida a la acción del peso. Estando en esta posición se le comunica una velocidad horizontal de rapidez v0

Supóngase en primer lugar que v0 = 0.

  1. Determine el punto en el que la masa despega de la superficie esférica, dando el ángulo θ que el vector de posición relativa al centro de la esfera forma con la vertical.
  2. ¿Qué rapidez tiene la partícula en el momento en que impacta con el suelo?

Supongamos ahora una cierta rapidez inicial v0.

  1. Determine el punto en el que la masa despega de la superficie esférica, dando el ángulo θ que el vector de posición relativa al centro de la esfera forma con la vertical.
  2. ¿Cuál es el valor mínimo de v0 para que la partícula despegue directamente de la superficie, sin deslizar sobre ella?
  3. Para este valor mínimo de v0 determine la distancia al centro de la semiesfera del punto de la superficie horizontal en el que impacta la partícula.

9 Partícula cargada en campo magnético uniforme

Una carga q en campo magnético experimenta una fuerza

\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}

Se trata de deducir cómo se mueve la partícula en el caso en el que el campo magnético sea una constante independiente de la posición.

\vec{B}=B_0\vec{k}
  1. Suponga en primer lugar que la velocidad inicial de la partícula es paralela al campo magnético, \vec{v}_0 = v_0\vec{k}. ¿Cuánto vale la aceleración en el instante inicial? ¿Cuanto vale la velocidad un instante posterior? ¿Cómo es el movimiento de la carga en ese caso?
  2. Suponga ahora el caso de una carga cuya velocidad inicial es perpendicular al campo magnético, \vec{v}_0 = v_0\vec{\imath}.
    1. Demuestre que el movimiento resultante es un movimiento plano.
    2. Demuestre que la rapidez del movimiento es constante
    3. Calcule el radio de curvatura de la trayectoria que describe la carga
    4. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
  3. Suponga, por último, una velocidad inicial arbitraria \vec{v}_0 = v_{x0}\vec{\imath}+v_{z0}\vec{k}. Combinando los resultados anteriores, ¿qué movimiento realiza la carga?

10 Dos masas en planos inclinados y un muelle

Dos masas iguales de peso mg=75\,\mathrm{N} situadas sobre dos planos inclinados contiguos, de las dimensiones mostradas en la figura. Las dimensiones son tales que el ángulo en O es recto.

Las masas están unidas por un resorte ideal de longitud natural nula y constante k=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}. No hay rozamiento con las superficies.

  1. Determine la posición de equilibrio de las dos masas, hallando los valores de x e y.
  2. Para esta posición de equilibrio, calcule las fuerzas de reacción ejercidas por los planos, así como la fuerza elástica que el resorte ejerce sobre cada masa.
  3. Suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento estático μ = 0.25 entre las masas y las superficies en que se apoyan. En ese caso hay un rango de posiciones en las que puede producirse el equilibrio. ¿Cuánto valen x e y para la posición de equilibrio con mínima longitud del resorte? ¿Y para el caso de máxima longitud del resorte?
  4. Volviendo al caso sin rozamiento, determine las ecuaciones de movimiento para las dos masas.

Sugerencia: Empléense los ejes de la figura.

11 Fuerza en anilla ensartada en varillas

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ésta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

Archivo:anilla-dos-varillas.png

12 Partícula en el interior de un tubo

Una partícula de masa m se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular ω constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

x = \rho\,\mathrm{cos}(\omega t)\,        y= \rho\,\mathrm{sen}(\omega t)

donde \rho = \rho(t)\,, función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

  1. Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer \rho(t)\, sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
  2. Calcule la solución de esta ecuación de movimiento si la partícula se encuentra inicialmente a una distancia A del eje de giro con velocidad radial nula.
  3. Suponga que \rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,
  4. Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante para una posición y velocidades arbitrarias y para la solución anterior.
  5. Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo
    1. ¿Qué fuerzas actúan sobre la partícula?
    2. ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?

13 Partícula en un cuenco esférico

Una partícula de masa m puede deslizarse sin fricción por la superficie de un cuenco esférico fijo de ecuación x^2+y^2+z^2=b^2 sometida a la acción del peso (en la dirección y sentido de z decreciente) y de la fuerza de reacción vincular.

  1. Para cada altura h respecto al fondo la partícula puede describir un movimiento circular horizontal si tiene la rapidez adecuada.
    1. ¿Cuál sería esta rapidez?
    2. ¿Y el periodo de revolución?
    3. ¿Cuánto vale la fuerza de reacción vincular en este movimiento?
  2. Escriba las ecuaciones de movimiento para una situación arbitraria de la masa sobre la superficie esférica, empleando como variables:
    1. Las coordenadas cartesianas
    2. Las coordenadas esféricas centradas en el centro de la esfera,
  3. Suponga que la partícula se ve restringida a moverse en el plano y = 0 y que se desplaza en el eje OX una ligera cantidad (x_0\ll b). ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones que describe?
    1. Si la partícula se suelta desde el reposo en \vec{r}_0=b\vec{\imath}, ¿qué velocidad lleva cuando pasa por el fondo del pozo? ¿Cuánto vale la fuerza de reacción vincular en ese punto? ¿Cuánto vale a mitad de camino?

14 Partícula en paraboloide

Suponga un problema similar al de la partícula en un cuenco esférico pero con la partícula sobre un paraboloide de ecuación z = (x2 + y2) / (2b)

  1. Para cada altura h respecto al fondo la partícula puede describir un movimiento circular horizontal si tiene la rapidez adecuada. ¿Cuál sería esta rapidez? ¿Y el periodo de revolución? ¿Cuánto vale la fuerza de reacción vincular en este movimiento?
  2. Escriba las ecuaciones de movimiento para una situación arbitraria de la masa sobre el paraboloide, empleando como variables:
    1. Las coordenadas cartesianas
    2. Las coordenadas cilíndricas, eliminando las fuerzas de reacción vincular.
  3. Suponga que la partícula se ve restringida a moverse en el plano y=0 y que se desplaza en el eje OX una ligera cantidad (x_0\ll b). ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones que describe?
  4. Si la partícula se suelta desde el reposo en \vec{r}_0=b\vec{\imath}+(b/2)\vec{k}, ¿qué velocidad lleva cuando pasa por el fondo del pozo? ¿Cuánto vale la fuerza de reacción vincular en ese punto? ¿Cuánto vale a mitad de camino?

15 Partícula en anilla giratoria

Una pequeña anilla de masa m está ensartada sin rozamiento en un aro circular de masa M y radio b situado verticalmente que puede girar en torno a un diámetro vertical. Suponga que este aro se hace girar con velocidad angular constante Ω alrededor de este diámetro.

  1. Escriba la ecuación del vínculo sobre la partícula. ¿De qué tipo es?
  2. Determine la posición de los posibles puntos de equilibrio en la vertical, así como la estabilidad de éstos, en función del valor de Ω.
  3. Suponga ahora que entre la anilla y el aro existe un coeficiente de rozamiento seco μ, ¿cómo queda en ese caso la ecuación de movimiento para la anilla? Para un valor de Ω dado, ¿cuál es en ese caso el rango de posiciones verticales de equilibrio?

16 Dos partículas unidas por un hilo que cuelga

Dos partículas de masas m1 y m2 están unidas por un hilo ideal (inextensible y sin masa) de longitud b. La partícula 1 se encuentra sobre la superficie horizontal z = 0 mientras que el hilo pasa por un orificio situado en el origen O y la masa m2 pende verticalmente.

Archivo:masas-horizontal-cuelga.png
  1. ¿Con qué rapidez debe moverse la masa 1 describiendo circunferencias si la masa 2 se mantiene en equilibrio en una posición z2 = − h? ¿Cuál es la tensión del hilo en ese caso?
  2. Suponga que se aplica una fuerza vertical -F_0\vec{k} sobre la masa 2, ¿cuál es la nueva posición de equilibrio de la masa 2?
  3. Si la fuerza F0 se aplica en t = 0 estando las masas inicialmente en la situación del apartado 1, ¿cuál es la ecuación de movimiento para cada masa?

17 Circulación por un terreno ondulado

En un tramo ondulado de una autopista, el perfil de esta puede modelarse como una sinusoide

z=b\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)
  1. ¿Cuál es la máxima rapidez que puede llevar un coche de masa m si no debe despegar del suelo al pasar por una de las crestas?
  2. Si el coche continúa con esta rapidez, ¿cuánto vale la reacción del suelo cuando pasa por el fondo de un valle?

18 Masa que cuelga de dos hilos diferentes

Una masa de peso mg=16.8 \,N cuelga del techo suspendida de dos hilos de 65 cm y 75 cm de longitud, respectivamente, que están atados a dos puntos separados una distancia de 70 cm.

  1. Calcule la tensión de cada hilo en la posición de equilibrio.
  2. Suponga que se corta el hilo de 65 cm, ¿cuál es la tensión del otro hilo justo tras el corte? ¿Cuál es la tensión de este hilo cuando la masa, en su movimiento pendular, pasa por la vertical?
  3. Suponga ahora que en lugar de ese hilo se corta el de 75 cm, ¿cuál es la tensión del hilo restante justo tras el corte y cuando pasa por la vertical?

19 Sistema de partículas y muelles

Se tiene un sistema de 4 masas iguales de 0.5 kg cada una situadas instantáneamente en los puntos

\vec{r}_1=\vec{0}\qquad \qquad \vec{r}_2=b\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{r}_3=b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}\qquad (b=0.2\,\mathrm{m})

Las masas están unidas entre sí y a un punto fijo situado en -b\vec{\imath} por resortes de longitud natural nula y constante k=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m} tal como indica la figura. Para los casos siguientes (v_0=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s})

  • \vec{v}_1=\vec{v}_2=\vec{v}_3=\vec{v}_4=v_0\vec{\imath}
  • \vec{v}_1=\vec{v}_2=\vec{v}_3=\vec{v}_4=v_0\vec{k}
  • \vec{v}_1=\vec{v}_2=v_0\vec{\imath}, \vec{v}_3=\vec{v}_4=-v_0\vec{\imath}
  • \vec{v}_1=v_0\vec{\imath}, \vec{v}_2=v_0\vec{\jmath}, \vec{v}_3=-v_0\vec{\imath}, \vec{v}_4=-v_0\vec{\jmath}
  • \vec{v}_1=v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath}), \vec{v}_2=v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath}), \vec{v}_3=-v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath}), \vec{v}_4=-v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath})

Halle

  1. La fuerza resultante
  2. El momento resultante respecto a O(0,0) y respecto al CM.
  3. La aceleración de cada masa y del CM.
  4. La cantidad de movimiento del sistema respecto a un sistema fijo y respecto a uno que se traslada con la partícula 1
  5. El momento cinético respecto a un sistema fijo centrado en O, respecto al CM y respecto a un sistema que se traslada con la partícula 1.
  6. La energía cinética del sistema respecto a un sistema fijo centrado en O y respecto al CM
  7. La energía potencial interna y externa
  8. La potencia de las fuerzas externas y de las fuerzas internas.

20 Barra deslizante con masas en los extremos

Dos masas iguales m están unidas por una varilla rígida ideal de longitud b. La varilla está apoyada en el suelo y en una pared vertical, formando la varilla un ángulo θ con la vertical. Todo el sistema está contenido en el plano vertical OXY

  1. Suponga que el sistema está en equilibrio. Calcule el mínimo valor que debe tener el coeficiente de rozamiento μ entre la varilla y el suelo para que esto ocurra. Para esta situación, ¿cuánto valen las reacciones normales del suelo y la pared, la fuerza de rozamiento y la tensión de la varilla?
  2. Suponga que no existe rozamiento y que la varilla va cayendo apoyada en el suelo y la pared. Para el momento en que la varilla forma un ángulo θ con la vertical y este ángulo varía con una velocidad \dot{\theta}, ¿cuánto valen las reacciones y la tensión?
  3. Determine la ecuación de movimiento para la varilla. Si inicialmente la varilla se encuentra en reposo en posición vertical y a partir de ahí comienza a deslizar, ¿para qué ángulo se separa de la pared?

21 Dos masas sobre una cuchilla

Dos masas iguales m están unidas por una varilla rígida ideal de longitud b. La varilla reposa sobre un plano horizontal. una de masas (la “2”) puede deslizar sin rozamiento sobre el plano, pero la “1” está montada sobre una cuchilla que la obliga a desplazarse solo en la dirección paralela a la propia varilla

  1. ¿Qué vínculos ligan las posiciones y velocidades de las partículas? ¿De qué tipo es cada uno?
  2. ¿Hacia dónde van dirigidas las fuerzas de reacción vincular?
  3. Escriba el sistema de ecuaciones de movimiento y de vínculos para este sistema empleando como variables las coordenadas cartesianas de la masa 1 y el ángulo que la varilla forma con el eje OX.
  4. ¿Pueden reducirse las ecuaciones a un sistema de ecuaciones de primer orden en el que no aparezcan funciones trigonométricas?

22 Dos masas unidas por un péndulo

Dos masas de valor m1 y m2 se encuentran unidas por una varilla rígida de longitud b y masa despreciable. m1 puede deslizarse sin rozamiento sobre una superficie horizontal, mientras que m2 cuelga de la varilla pudiendo oscilar y moverse en el plano OXZ. Todo el sistema está sometido a la acción del peso.

  1. Empleando los procedimientos de la dinámica vectorial (es decir, considerando todas las fuerzas que actúan sobre cada masa), determine las ecuaciones de movimiento para las dos masas, en función del ángulo con la vertical θ y de la posición x de la masa m1.
  2. Determine dos constantes de movimiento en este problema. ¿Qué representan físicamente?
  3. Suponga que estando el péndulo vertical se aguanta la masa superior y la inferior se separa de la vertical un pequeño ángulo θ0.
    1. ¿A qué se reducen las ecuaciones de movimiento en ese límite θ≪1?
    2. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación? ¿A qué tiende en los casos m_1→∞ y m_1→m_2?
  4. Suponga que se sube la masa 2 hasta que el péndulo queda horizontal. Estando las dos masas en reposo, se suelta m2. Para el momento en que el péndulo pasa por la posición vertical
    1. ¿Cuál es la rapidez de m2? ¿Y de m1?
    2. ¿Cuánto vale la tensión de la barra?
    3. ¿Cuánto vale la fuerza de reacción normal del plano que sostiene a m1?

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