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Problemas de Movimiento oscilatorio

De Laplace

Contenido

1 Pelota que bota y bota

Un balón que se ha dejado caer desde una altura de 4 m choca con el suelo con una colisión perfectamente elástica. Suponiendo que no se pierde energía debido a la resistencia del aire, demuestre que el movimiento es periódico. Determine el periodo del movimiento, ¿Es éste un movimiento armónico simple?

Solución

2 Solución general del MAS

La solución general de la ecuación de movimiento

m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x

es de la forma

x = a \cos(\omega t)+b\,\mathrm{sen}\,(\omega t)    \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}

con a y b dos constantes dependientes de las condiciones iniciales.

  1. Halle el valor de las constantes a y b si la posición inicial de la partícula es x0 y su velocidad inicial es v0.
  2. Demuestre que la ecuación horaria x = A \cos\left(\omega t+\phi\right) es también solución de la misma ecuación de movimiento. Empleando relaciones trigonométricas, deduzca la relación entre las constantes {A,φ} y las constantes {a,b}. Exprese A y φ en función de la posición y la velocidad iniciales, x0 y v0.
  3. Calcule la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidad iniciales.
  4. Demuestre que la cantidad E = mv2 / 2 + kx2 / 2 no depende del tiempo. ¿Cuánto vale en función de las condiciones iniciales?
  5. Demuestre que x = et, con \mathrm{j}=\mathrm{i}=\sqrt{-1}, la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación de movimiento. Aplicando los resultados anteriores, demuestre la relación
\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}=\cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)

Solución

3 Masa de un astronauta

Para medir la masa de un astronauta en ausencia de gravedad se emplea un aparato medidor de masa corporal. Este aparato consiste, básicamente, en una silla que oscila en contacto con un resorte. El astronauta ha de medir su periodo de oscilación en la silla. En la segunda misión Skylab el resorte empleado tenía una constante k = 605.6&mathsp;N/m y el periodo de oscilación de la silla vacía era de 0.90149 s. Calcule la masa de la silla. Con un astronauta en la silla el periodo medido fue 2.08832 s. Calcule la masa del astronauta.

Solución

4 Oscilador armónico bidimensional

Una partícula de masa m se encuentra sobre una mesa, unida a un punto fijo de ésta (que tomaremos como origen de coordenadas) mediante un muelle de constante k. En el instante t = 0 se la sitúa en la posición \mathbf{r}_0 = x_0\mathbf{i} y se le comunica una velocidad \mathbf{v}_0=v_0\mathbf{j}.

  1. Halle la posición de la partícula en cualquier instante.
  2. ¿Cómo es la trayectoria de la partícula?
  3. Demuestre que, en este movimiento, las cantidades
E=\frac{1}{2}m\left|\mathbf{v}\right|^2+\frac{1}{2}k\left|\mathbf{r}\right|^2        \mathbf{L}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}
son constantes de movimiento.

Solución

5 Asociaciones de resortes

Determine la frecuencia de oscilación de una masa m unida a dos muelles de constantes k1 y k2 cuando

  1. los muelles están conectados en paralelo.
  2. los muelles están conectados en serie.

Solución

6 Masa que cuelga de dos muelles

Se tiene una masa m que cuelga de una asociación de dos muelles en paralelo con constantes recuperadoras k1 y k2 y longitudes naturales L1 y L2, respectivamente.

  1. Determine el valor de la elongación de la asociación en la situación de equilibrio.
  2. Se empuja la masa verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0. Suponiendo que el rozamiento es despreciable, encuentre la evolución de la posición de la masa en el tiempo y el período de oscilación (Escoja como origen de coordenadas la posición de equilibrio del apartado anterior). Calcule la posición más alta que alcanza la masa y su energía en ese instante.
  3. Se añade un pistón de masa despreciable, de modo que se mueve dentro de un cilindro relleno con nitrógeno. Determine la longitud de onda de la onda de sonido generada en el cilindro, considerando que el gas es ideal.
  4. Determine los valores numÚricos de las magnitudes pedidas en los apartados anteriores.

Datos: m = 100\,\mathrm{g}, k_1=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}, k_2=200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}, L_1=10.0\,\mathrm{cm}, L_2=12.0\,\mathrm{cm}, g=9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2, v_0=100\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}, M_{N}=28.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}, T=25.0^\circ\mathrm{C}

7 Error en el péndulo

Halle el error relativo cometido al calcular la velocidad para un péndulo en su punto más bajo empleando la aproximación de oscilador armónico, si se suelta en reposo desde un ángulo respecto a la vertical de (a) 1° (b) 10° (c) 30° (d) 60° (e) 90°.

Solución

8 Oscilaciones de un acelerómetro

Un acelerómetro consiste en un péndulo que se cuelga del techo de un vehículo, el cual se mueve con una cierta aceleración.

  1. Suponga que este vehículo es la cabina de un ascensor que se mueve verticalmente con aceleración constante a0. El periodo de oscilación del péndulo, ¿aumenta o disminuye? ¿En qué proporción respecto a su valor en reposo?
  2. Si el vehículo es un camión que avanza horizontalmente con aceleración a0, ¿qué ángulo con la vertical formará el péndulo en equilibrio? ¿En qué proporción varía el periodo de oscilación para este péndulo?
  3. Si el vehículo es una caja que desliza libremente por un plano inclinado 30°, ¿qué ángulo con el suelo de la caja formará el hilo del péndulo en equilibrio? ¿En qué proporción varía el periodo de oscilación?

Solución

9 Partícula en un cuenco

Una partícula de masa m se desliza sin rozamiento dentro de un recipiente de forma hemisférica de radio R. Demuestre que el movimiento de la partícula sobre el cuenco es equivalente a un péndulo de longitud R.

Solución

10 Oscilador no lineal

Una partícula está sometida exclusivamente a una fuerza, dependiente de la posición, dada por

F(x) = cx - px^3\qquad (p>0)
  1. Halle la expresión de la energía potencial y la energía mecánica para la partícula. Esboce las gráficas para los casos c < 0 y c > 0.
  2. Demuestre que el movimiento de la partícula siempre es acotado, y periódico.
  3. Localice las posiciones de equilibrio de la partícula (a) si c < 0 (b) si c > 0.
  4. Suponga que la partícula se suelta desde una posición muy próxima a las posiciones de equilibrio calculadas en el apartado anterior. ¿En qué caso describe oscilaciones? Halle el valor aproximado del periodo de oscilación para este movimiento.

Solución

11 Oscilador amortiguado

Un oscilador amortiguado experimenta una fuerza de rozamiento viscoso \mathbf{F}_r=-b \mathbf{v}, de forma que su ecuación de movimiento, para un movimiento unidimensional es

ma =-b v-kx\,
  1. Demuestre que la energía mecánica
    E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2
    es una función decreciente con el tiempo.
  2. Si buscamos una solución particular de la forma x = Aeλt, calcule los dos valores que puede tener λ. La solución general será una combinación de las dos posibilidades:
    x = A_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 t}+A_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 t}\,
    con A1 y A2 dos constantes a determinar mediante las condiciones iniciales.
  3. ¿Cuál es el máximo valor de b para que haya oscilaciones? ¿cómo es el movimiento si b supera ese valor?
  4. Considere el caso particular de una partícula de masa m = 1 kg se encuentra sujeta a un muelle de constante k =1 N/m, existiendo un rozamiento b. Determine la posición en cualquier instante si se impulsa desde la posición de equilibrio con velocidad v0 = 0.6 m/s si (a) b = 1.6 N·s/m, (b) b = 2.5 N·s/m, (c) b = 2.0 N·s/m.

Solución

12 Resorte forzado

Un niño juega con un resorte de constante k = 20 N/m y fricción despreciable del cual cuelga una masa m = 200 g, sujetando el otro extremo del resorte entre sus dedos, con la mano extendida horizontalmente. El niño agita la mano arriba y abajo, con una amplitud b = 2 cm y una frecuencia ω. Determine la posición de la pesa, si esta oscila con la misma frecuencia que la mano. ¿En qué condiciones la pesa llegará a golpearle la mano?

Solución

13 Oscilaciones en un circuito

Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una autoinducción L, asociadas en serie cumple las siguientes ecuaciones para la carga en el condensador y la corriente en el circuito:

L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+RI+\frac{Q}{C}=0    I =\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}
  1. Suponga en primer lugar que la resistencia es nula (R = 0). Pruebe que la carga del condensador oscila armónicamente. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación? ¿Qué energía se conserva, análogamente a la energía mecánica de un oscilador armónico?
  2. Si la resistencia no es nula, pruebe que el sistema se comporta como un oscilador amortiguado. ¿Cuál es la resistencia máxima para que haya oscilaciones en el sistema?
  3. Suponga que además de los elementos anteriores, el circuito dispone de una fuente de corriente alterna, que lleva mucho tiempo conectada, de manera que las ecuaciones del circuito son
L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+RI+\frac{Q}{C}=V_0\cos(\omega t)    I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}
Halle la amplitud de las oscilaciones de la carga del condensador, como función de los parámetros del circuito y de la frecuencia y amplitud del voltaje aplicado.

Solución

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