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Problemas de Cinemática del sólido rígido (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Problemas del boletín

1.1 Campo de velocidades y vector rotación de un sólido rígido

Determine los valores de los parámetros λ, μ y ν para que los vectores

\vec{v}_O=v_0\!\ \vec{\imath}\mathrm{;}\quad\vec{v}_A=\lambda\!\ \vec{\jmath}+\frac{v_0}{2}\ \vec{k}\mathrm{;}\quad \vec{v}_B=v_0\!\ \vec{\imath}+\mu\!\ \vec{\jmath}+\nu\!\ \vec{k}

describan las velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido, cuyas posiciones están dadas por las ternas de coordenadas cartesianas, O(0,0,0), A(0,a,0) y B(0,0,b). Calcule también las componentes del correspondiente vector rotación instantánea.


1.2 Ejemplos de reducciones cinemáticas

Encuentra las reducciones cinemáticas instantáneas pedidas de cada uno de estos movimientos

  1. Una rueda de radio R que gira con velocidad angular constante ω alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por su centro. Encuentra la reducción canónica.
  2. Una rueda de radio R rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal de modo que su centro avanza con velocidad uniforme v0. Encuentra la reducción en el centro y la reducción canónica.
  3. Una rueda de radio R rueda y desliza con velocidad angular ω alrededor de un eje perpendicular a ella, de modo que el punto de contacto con el suelo tiene una vez relativa a éste de módulo vdes. Encuentra la reducción en el punto de contacto y la reducción canónica.
  4. Un tornillo gira con velocidad angular uniforme ω y avanza con velocidad uniforme v paralelamente a su eje. Encuentra la reducción en el punto más alto de la superficie frontal del tornillo y la reducción canónica.

1.3 Triángulo en movimiento helicoidal

El triángulo de vértices A, B, y C constituye un sólido rígido en movimiento respecto al sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:

  1. Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea \vec{v}^A=\vec{v}^B=v(t)\,\vec{k}.
  2. El vértice C se mueve describiendo la hélice Γ, que en el sistema OXYZ está descrita por las ecuaciones paramétricas:


     \Gamma:\vec{r}=\vec{r}(\theta)\left\{
       \begin{array}[l]{l}
         x(\theta) = R\,\cos\theta\\
         y(\theta) = R\,\,\mathrm{sen}\,\theta\\
         z(\theta) = h\,\theta\\
       \end{array}
       \right.
       \quad

donde R y h son constantes conocidas. Se pide:

  1. Indicar de forma razonada cual es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en este movimiento. Determinar el vector rotación total en términos de los datos expresados en el enunciado.
  2. Expresar la componente normal de la aceleración del vértice C en un instante cualquiera, en función de los datos del enunciado.
  3. Para el caso en que v(t) = v0 (cte), y h = R / 2, calcular la aceleración del vértice C. Determinar la ley horaria s = s(t) con que el punto C describe su trayectoria.

1.4 Propiedades cinemáticas instantáneas de pieza triangular

Una pieza triangular ABC se mueve respecto de un sistema de referencia OXYZ, comportándose como un sólido rígido. Los vértices C y B de la pieza van recorriendo los ejes OZ y OY, respecti-vamente, mientras que el vértice A se desplaza siempre contenido en el plano OXY. En un determinado instante, cuando los vértices ocupan las posiciones de coordenadas
A(a,a,0)\mathrm{;}\quad B(0,2a,0)\mathrm{;}\quad C(0,0,2a)

la velocidad instantánea del vértice B es \vec{v}^B=v_0\!\ \vec{\jmath}. Determine, para dicho instante de tiempo:

  1. Velocidad del vértice A y vector rotación instantánea.
  2. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.
  3. Derivada instantánea del vector rotación, sabiendo que el vértice B se mueve con velocidad instantánea constante.

1.5 Esfera con movimiento en función del tiempo

Una esfera de radio a, se mueve en contacto con un plano Π = OX1Y1. El movimiento de la esfera queda completamente caracterizado, para todo instante de tiempo, por la reducción cinemática


\begin{array}{c}
\vec{\omega}(t) = \dfrac{v_0}{a}\,\left(1-\dfrac{v_0}{a}t\right)\,\left(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1\right)
\\ \\
\vec{v}^C(t) = v_0\left[\left(1-\dfrac{v_0}{a}t\right)\,\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1\right]
\end{array}

  1. En qué instante(s) el movimiento de la esfera respecto del plano es una rotación pura instantánea?
  2. En qué instante la velocidad del centro C tiene módulo mínimo en el campo de velocidades de la esfera?
  3. Aceleración del punto de la esfera que ocupa la posición D de contacto con el plano, en el instante t0 = 2a / v0?
  4. Calcula la aceleración del punto de la esfera que ocupa la posición D de contacto con el plano, en el instante t0 = 2a / v0

1.6 Disco desenrollándose de una cuerda

Un disco de radio R gira y cae, siempre contenido en el plano vertical OXY, mientras se desenrolla de una cuerda que pende verticalmente, y cuya longitud aumenta según la ley horaria l(t)=R+K\!\ t^2 (donde K es una constante conocida).
  1. Obtenga la reducción cinemática que describe el movimiento instantáneo del disco.
  2. Velocidad y aceleración instantáneas del punto B indicado en la figura.

 

 

2 Otros problemas

2.1 Determinación del vector rotación a partir de la velocidad en tres puntos

Dada las velocidades (\vec{v}\,^A,\vec{v}\,^B,\vec{v}\,^C) en tres puntos no alineados de un sólido rígido (A,B,C), determina el vector \vec{\omega} que describe la rotación instantánea del sólido rígido. ¿Que ocurre si los tres puntos están alineados?

2.2 Ejemplo de campo de velocidades de un sólido

Un campo de velocidades de un sistema de partículas tiene la expresión, en el SI,


\vec{v}=(2 + 6 y + 3 z)\vec{\imath}+(3 - 6 x - 2 z)\vec{\jmath}+(1 - 3 x + 2 y)\vec{k}

  1. Prueba que corresponde al movimiento de un sólido rígido.
  2. Determina la velocidad angular y la velocidad de deslizamiento.
  3. Halla la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.


Dada las velocidades (\vec{v}\,^A,\vec{v}\,^B,\vec{v}\,^C) en tres puntos no alineados de un sólido rígido (A,B,C), determina el vector \vec{\omega} que describe la rotación instantánea del sólido rígido. ¿Que ocurre si los tres puntos están alineados?

2.3 Campo de velocidades a partir de la velocidad en tres puntos

En un determinado instante, las posiciones de tres puntos de un sólido rígido, respecto de un sistema de referencia cartesiano OXYZ, vienen dadas por las ternas de coordenadas A(0,0,0), B(0,9,0), C(3\sqrt{3},9,0). En el mismo instante, las velocidades instantáneas de estos tres puntos respecto a dicho sistema OXYZ son, respectivamente:


   \vec{v}^A=-3\sqrt{3}\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k};\quad\vec{v}^B=\lambda\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k};\quad
   \vec{v}^C=\mu\,\vec{\imath}+\nu\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k};

donde las componentes de los vectores posición y velocidad se miden en unidades base del SI. Calcula para dicho instante de tiempo:

  1. Valores de λ, μ y ν.
  2. Vector rotación total del sólido.
  3. Velocidad de mínimo deslizamiento.
  4. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.
  5. Ligar geométrico de los puntos cuya velocidad es paralela a la recta \Delta:\left\{ \begin{array}{l} y=0\\x=z \end{array} \right.

2.4 Movimiento instantáneo de triángulo rígido con vértices en planos ortogonales

Un sólido rígido con forma de triángulo plano se mueve con sus vértices A, B y C en contacto permanente con los respectivos planos OYZ, OXZ y OXY, de manera que en todo momento se verificará
\vec{v}^A\perp\vec{\imath}\mathrm{;}\quad \vec{v}^B\perp\vec{\jmath}\mathrm{;}\quad \vec{v}^C\perp\vec{k}

En un determinado instante en que los vértices del triángulo ocupan los puntos de coordenadas conocidas A(0,b,c)\mathrm{,}\;\; B(a,0,c)\mathrm{,}\, y \, C(a,b,0), se comprueba que las velocidades de B y C son idénticas (\vec{v}^B=\vec{v}^C), siendo v0 el módulo de ambas.

  1. Determine las componentes de la velocidad del vértice A en dicho instante.
  2. También en el instante considerado, ¿qué dirección debe tener el vector rotación \vec{\omega}, característico del movimiento del sólido? Justifique su respuesta y obtenga la expresión analítica (componentes) de dicho vector.

2.5 Ejemplo de movimiento de precesión

El movimiento de precesión de una peonza puede describirse como una rotación en torno a un eje instantáneo que a su vez está rotando, manteniéndose fijo el punto de apoyo. Supongamos el caso particular
\vec{v}^O =\vec{0}\qquad\qquad\vec{\omega}=3\cos(t)\vec{\imath}+3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\jmath}+4\vec{k}

Consideremos el punto \overrightarrow{OA}=\vec{k}

  1. Determine la velocidad de este punto en cada instante.
  2. Determine la aceleración de A en todo instante.
  3. Halle, para cada instante, las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura en el mismo punto.

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

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