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Prisma entre placas conductoras

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene el sistema de la figura, formado por un prisma triangular (“4”), cuya base es un triángulo equilátero de lado L, y cuya altura es también L. Este prisma está conectado a tierra. Frente a él se encuentran tres placas cuadradas de lado L situadas a distancia a, 2a y 3a (a\ll L), respectivamente. Las placas “1” y “3” se conectan a un voltaje V0, mientras que la “2” almacena una carga Q0
  1. Halle la matriz de coeficientes de capacidad en este sistema de cuatro conductores. Desprecie los efectos de borde.
  2. Calcule la carga y el potencial de cada placa, así como la energía total del sistema.
  3. Calcule la presión electrostática en cada cara del prisma. A partir de la presión, halle la fuerza neta sobre el prisma.

2 Matriz de coeficientes de capacidad

Para calcular los coeficientes de capacidad del sistema bajo estudio, obtendremos primero los elementos de su circuito equivalente. Éste es, sin duda, el procedimiento más simple.

El conductor "4" está conectado a tierra, por tanto, lo consideraremos como conductor de referencia. Y como los efectos de borde son despreciables, pues L\gg a, podemos asumir que cada uno de los conductores "1", "2" y "3" se encuentran en influencia total con el "4". O lo que es lo mismo, este conductor actúa de pantalla entre los otros. Por tanto, se tendrá que...

\overline{C}_{12}=\overline{C}_{23}=\overline{C}_{13}=0

Las autocapacidades \overline{C}_{ii} modelan los tubos de campo eléctrico (conjuntos de líneas de campo) existentes entre cada una de las placas cuadradas y el prisma triangular que hemos adoptado como conductor de referencia. Al despreciar los efectos de borde, cada cara del prisma forma un condensador plano--paralelo con la placa que tiene enfrentada. La sección de los tres condensadores es L2, pero las separaciones entre el prisma y las placas "1", "2" y "3" son a, 2a y 3a, respectivamente. Por tanto, se tendrá:

\overline{C}_{11}=\frac{\varepsilon_0 L^2}{a}\mbox{;}\qquad
\overline{C}_{22}=\frac{\varepsilon_0 L^2}{2a}\mbox{;}\qquad
\overline{C}_{22}=\frac{\varepsilon_0 L^2}{3a}

A continuación, obtenemos la matriz de coeficientes de capacidad utilizando las expresiones que relacionan a éstos con las capacidades eléctricas y las autocapacidades anterioremente expresadas:

\left.\begin{array}
{l} C_{ij}=-\overline{C}_{ij}=0\mbox{;}\quad \mbox{para}\;\; i,j=1,2,3\mbox{,}
\;\; \mbox{con}\;\; i\neq j\\ \\ \displaystyle C_{ii}=\sum_{j=1}^3\overline{C}_{ij}=\overline{C}_{ii}\mbox{;}\quad \mbox{para}\;\; i=1,2,3
\end{array}\right\}     \Rightarrow     \displaystyle\mathbf{C}
=\frac{\varepsilon_0 L^2}{a}\left(\begin{array} {ccc}1 & 0 & 0\\ 0 &
\displaystyle\frac{1}{2}&0 \\ 0 & 0 & \displaystyle \frac{1}{3}
\end{array}\right)

3 Cargas y potenciales en las placas. Energía en el sistema

La matriz que acabamos de calcular en el apartado anterior caracteriza eléctricamente al sistema, relacionando las cargas eléctricas almacenadas en los conductores "1", "2" y "3", con los valores de potencial en ellos:

\left(\begin{array}
{c} Q_1 \\ \\ Q_2 \\ \\ Q_3
\end{array}\right)=\frac{\varepsilon_0 L^2}{a}\left(\begin{array} {ccc}1 & 0 & 0\\ 0 &
\displaystyle\frac{1}{2}&0 \\ 0 & 0 & \displaystyle\frac{1}{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}
{c} V_1 \\ \\ V_2 \\ \\ V_3
\end{array}\right)

Estos valores de potencial se miden respecto del conductor de referencia; es decir, considerando que V4 = 0. En el enunciado se aportan los datos  V1 = V3 = V0Q2 = Q0  que, sustituidos en la anterior relación matricial, llevan a los siguientes resultados:

\displaystyle
Q_1=\frac{\varepsilon_0L^2}{a}\ V_0\mbox{;}\qquad
Q_3=\frac{\varepsilon_0L^2}{3a}\ V_0\mbox{;}
\qquad V_2=\frac{2a}{\varepsilon_0L^2}\ Q_0

Por otra parte, la carga eléctrica en el prisma será igual a la suma de la que haya en sus caras laterales que, como hemos dicho, se encuentran en influencia total con las placas. Por tanto,

Q_4=-\left(Q_1+Q_2+Q_3\right)=-Q_0-\frac{4\varepsilon_0L^2}{3a}

 

La energía electrostática alamacenada en el sistema bajo estudio se calcula de una forma muy simple. Como las únicas distribuciones de carga son las que hay en las superficies de los cuatro conductores en equilibrio, se tendrá:

\displaystyle
U_e=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4Q_iV_i=\frac{2\varepsilon_0L^2}{3a}\ V_0^2
+\frac{a}{\varepsilon_0L^2}\ Q_0^2

4 Presión electrostática y fuerza neta sobre el prisma

Sea un conductor cargado en equilibrio electrostático superficie conductora en el vacío; la presión electrostática pe en un punto P de su superficie es proporcional al cuadrado de la densidad superficial de carga libre en dicho punto. Teniendo en cuenta que esta densidad es directamente proporcional al módulo del campo eléctrico en el punto P de la superficie del conductor y que éste se encuentra en el vacío, se tendrá:

p_e(P)=\frac{\sigma_e^2}{2\varepsilon_0}\bigg\rfloor_P=
\frac{\varepsilon_0|\mathbf{E}(P)|^2}{2}

Como cada cara del prisma forma un condensador plano-paralelo con la placa que tiene enfrentada, el campo eléctrico entre ambas superficies conductoras es perpendicular a ella y de valor constante (uniforme). En consecuencia, la carga eléctrica se distribuirá uniformemente en las superficies conductoras. Por tanto, si llamamos Σi a la superficie lateral del prisma enfrentada a la placa i-ésima, se tendrán los siguientes valores de densidades superficiales de carga y de presión electrostática en las caras laterales del prisma:


\left. \begin{array}
{c}\displaystyle\sigma_e\big\rfloor_{\Sigma_1}=-\frac{Q_1}{L^2}=-\frac{\varepsilon_0V_0}{a} \\ \\ \displaystyle\sigma_e\big\rfloor_{\Sigma_2}=-\frac{Q_2}{L^2}=-\frac{Q_0}{L^2}
\\ \\ \displaystyle\sigma_e\big\rfloor_{\Sigma_3}=-\frac{Q_3}{L^2}=-\frac{\varepsilon_0V_0}{3a} \end{array}\right\}     \Rightarrow     \begin{array}
{c}  \displaystyle p_e\big\rfloor_{\Sigma_1}=\frac{\varepsilon_0V_0^2}{2a^2}
\\ \\ \displaystyle p_e\big\rfloor_{\Sigma_2}=\frac{Q_0^2}{2\varepsilon_0L^4}
\\ \\ \displaystyle p_e\big\rfloor_{\Sigma_3}=\frac{\varepsilon_0V_0^2}{18a^2}
\end{array}

Para calcular la fuerza neta que se ejerce sobre el prisma tendremos en cuenta que en cada punto P de su superficie lateral Σi actúa un elemento elemento infinitesimal de fuerza \mathrm{d}\mathbf{F}_i=\mathbf{n}_i\ (p_edS)_{\Sigma_i}. El vector \mathbf{n}_i es unitario perpendicular a la cara Σi. La fuerza total que actúa sobre el prisma será igual a la suma de las fuerzas resultantes sobre sus caras laterales. Teniendo en cuenta que la presión es uniforme en cada una de ellas y que todas tienen un área igual a L2, se obtiene:

\mathbf{F}_e=\sum_{i=1}^3\mathbf{n}_i\int_{\Sigma_i}\!p_edS=
L^2\sum_{i=1}^3\mathbf{n}_i\ p_e\big\rfloor_{\Sigma_i}     \Rightarrow      \displaystyle\mathbf{F}_e=\frac{\varepsilon_0V_0^2L^2}{18a^2}\left(9\mathbf{n}_1+\mathbf{n}_3\right)+
\frac{Q_0^2}{2\varepsilon_0L^2}\ \mathbf{n}_2

Teniendo en cuenta que la sección transversal del prisma es un triángulo equilátero contenido en el plano XY, y tomando estos ejes como se indica en la figura, los expresiones cartesianas de vectores unitarios \mathbf{n}_i son:

\mathbf{n}_1=\frac{1}{2}\left(-\sqrt{3}\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y\right)\mbox{;}\qquad
\mathbf{n}_2=-\mathbf{u}_y\mbox{;}\qquad
\mathbf{n}_3=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y\right)

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