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Principios de la dinámica

De Laplace

Contenido

1 Introducción

Los principios de la dinámica o Leyes de Newton son los axiomas por los que se rigen las partículas y sistemas en la dinámica clásica. Fueron enunciados por Newton, basándose en los trabajos de Galileo, en sus Principia Mathematica.

Una versión de estos principios, enunciada de forma moderna, es la siguiente, donde encabezamos cada principio con el nombre con el que se lo conoce habitualmente:

2 Primer principio: Principio de inercia

El primer principio de la dinámica, también conocido como Primera Ley de Newton puede formularse como

Toda partícula libre de interacciones permanece en reposo o en estado de movimiento rectilíneo y uniforme.

Normalmente se formula usando “fuerzas” en lugar de “interacciones” pero puesto que ello requiere el haber definido previamente el concepto de fuerza, es preferible enunciarlo de una manera más genérica.

Este principio fue enunciado inicialmente por Galileo.

Lo que nos dice esta ley es que el espacio es euclídeo ya que las trayectorias de las partículas libres son rectas y no circunferencias (como ocurriría en la superficie de una esfera). El primer principio permite definir sistemas de referencia ortogonales que se extienden indefinidamente en el espacio y en el tiempo.

El primer principio de la dinámica nos permite definir los sistemas de referencia inerciales como aquellos en que una partícula libre sigue un movimiento rectilíneo y uniforme.

El principio de inercia se ve modificado en la teoría general de la relatividad, que corrige y generaliza las leyes de Newton. En su versión más general, una partícula libre no sigue necesariamente un movimiento rectilíneo y uniforme, sino que se desplza siguiendo una geodésica. En el marco de la relatividad general, el principio de inercia no es un postulado separado, sino que es una consecuencia del segundo principio.

3 Segundo principio: Segunda Ley de Newton

El segundo principio de la dinámica requiere previamente la definición de la cantidad de movimiento \mathbf{p} de una partícula, como

\mathbf{p}=m\mathbf{v}

de manera que la ley se enuncia

La derivada de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre ella.

En forma matemática

\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=\dot{\mathbf{p}} = \sum_i \mathbf{F}_i

En la mayoría de las ocasiones, la masa de una partícula es una constante por lo que la derivada de la cantidad de movimiento es igual a

\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \overbrace{\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}}^{=0}\mathbf{v}+m\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = m \mathbf{a}

de donde llegamos a la forma habitual de expresar la segunda ley de Newton

\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,

con \mathbf{F} la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula.

Esta ley requiere el conocimiento de las fuerzas aplicadas, como un dato del problema. Estas fuerzas deben ser obtenidas independientemente para que la ley tenga verdadero significado. Por ello, precisamos de algún modelo físico que nos proporcione la expresión de la fuerza. Entre estos modelos se encuentran:

  • La ley de Hooke, para el oscilador armónico
\mathbf{F}=-k\mathbf{r}\,
  • La ley de la gravitación universal, para el movimiento de una masa en el campo gravitatorio de otra
\mathbf{F}=-G\frac{m_1m_2(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)}{|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|^3}
Esta ley contiene al caso particular e importante del movimiento de una masa pequeña en las proximidades de la superficie terrestre
\mathbf{F}=m\mathbf{g}\,
  • La ley de Lorentz, para el movimiento de una partícula en un campo electromagnético
\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)\,
Un caso particular de esta ley es la ley de Coulomb, para la fuerza producida por una carga en reposo
\mathbf{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)}{|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|^3}

Una característica común a todas estas leyes de fuerza es que proporcionan una fuerza dependiente de la posición y de la velocidad instantáneas de la partícula. Por ello, matemáticamente, la segunda ley de Newton proporciona la ecuación de movimiento como una ecuación diferencial

\ddot{\mathbf{r}}=\frac{1}{m}\mathbf{F}(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t)

La solución de esta ecuación diferencial, por métodos analíticos y numéricos, nos permite determinar la posición ulterior de una partícula, conocidas su posición y velocidades iniciales.

4 Tercer principio: ley de acción y reacción

Los dos primeros principios de la dinámica nos dicen cómo se comportan las partículas en ausencia de fuerzas o sometidas a una fuerza conocida. El tercer principio de la dinámica establece una propiedad básica de esas fuerzas de interacción entre partículas:

Si una partícula A ejerce en un instante dado una fuerza sobre una partícula B, la partícula B ejerce sobre A una fuerza igual y de sentido contrario.

Matemáticamente

\mathbf{F}_{A\to B} = -\mathbf{F}_{B\to A}

Hay que destacar que estas dos fuerzas no se anulan mutuamente, ya que se ejercen sobre partículas distintas. Sólo en el caso de que se encuentren rígidamente unidas se cancelarán sus efectos.

La tercera ley de Newton puede formularse en dos versiones. La versión débil es la enunciada más arriba, donde solo indica que las fuerzas son iguales y opuestas. La versión fuerte es más restrictiva e informativa:

Si una partícula A ejerce en un instante dado una fuerza sobre una partícula B, la partícula B ejerce sobre A una fuerza igual y de sentido contrario y ambas fuerzas actúan sobre la recta que pasa por las dos partículas

Matemáticamente

\mathbf{F}_{A\to B} = -\mathbf{F}_{B\to A}        y        \mathbf{F}_{A\to B}\times(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)=\mathbf{0}

Este requisito adicional establece que las fuerzas de interacción son centrales lo que tiene importantes consecuencias en la ley de conservación del momento cinético de un sistema de partículas.

No todas las fuerzas de la naturaleza cumplen la tercera ley de Newton. Las que sí lo hacen se denominan fuerzas newtonianas. Entre las fuerzas newtonianas se encuentran los ejemplos importantes de la ley de la gravitación universal, la ley de Hooke y la ley de Coulomb, por lo que las consecuencias del principio de acción y reacción se aplican a la mayoría de los casos prácticos.

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