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Primera Prueba de Control 2012/13 (F1 G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Posición de vértices y volumen de un paralelepípedo

Los puntos O, A, B y C son vértices no contiguos de un paralelepípedo, de manera que O y A se encuentran en un plano distinto al que contiene a B y C. Las coordenadas de estos puntos en un sistema de

referencia cartesiano son:

O(0, 0, 0)\mathrm{;}\quad A(\sqrt{3} + 1, 0,0)\mathrm{;}\quad B(1, 0, 1)\mathrm{;}\quad C(\sqrt{3}, 2, 1)\mathrm{,}

medidas en unidades de longitud. Determine las componentes cartesianas de los vectores

\vec{u}=\overrightarrow{OB}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{v}=\overrightarrow{OC}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{w}=\overrightarrow{OO}^\prime.

y calcule el volumen del paralelepípedo.

2 Movimiento instantáneo de una partícula

Una partícula P se mueve respecto de un sistema de referencia cartesiano OXYZ de manera que en un cierto instante t0, su velocidad \vec{v} y su aceleración \vec{a} están descritas, respectivamente, por los vectores

\vec{v}=\vec{\imath}+\sqrt{3}\!\ \vec{k}\quad\mathrm{y}\quad\vec{a}=\vec{\imath}+\sqrt{5}\vec{\jmath}-\sqrt{3}\!\ \vec{k}\mathrm{,}

con sus componentes medidas en m / s2. Determine, en el instante considerado, las siguientes magnitudes cinemáticas:

  1. Módulo de la velocidad (celeridad) y su derivada.
  2. Componente normal de la aceleración y radio de curvatura de la trayectoria.
  3. Vector aceleración normal.

3 Partícula ensartada en aro horizontal

Una partícula P de masa m se mueve ensartada en un aro de radio R, contenido en el plano cartesiano OXY, y cuyo centro se encuentra en un punto de dicho plano, de coordenadas C(R,0,0). La partícula, que en el instante inicial (t = 0) se encuentra en el punto A de coordenadas A(2R,0,0), se mueve de manera que el ángulo \varphi que forma el radiovector \vec{r}=\overrightarrow{OP} con el eje OX varía en el tiempo con velocidad angular constante,
\dot{\varphi}(t)=\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}=\omega_0\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}
  1. Obtenga una expresión paramétrica de la trayectoria.
  2. Ley horaria para el módulo de la velocidad (celeridad).
  3. Componentes intrínsecas de la aceleración de la partícula.
  4. Fuerzas aplicadas sobre la partícula, expresadas en el triedro instrínseco, sabiendo que el plano OXY es perpendicular a la vertical gravitatoria definida por el vector gravedad \vec{g}=-g\vec{k}.

4 Sistema equivalente a dos resortes alineados

Una partícula pesada P de masa m, se halla en equilibrio por la acción de dos resortes, uno de constante recuperadora K1 y longitud natural l1, y otro de constante recuperadora K2 y longitud natural l2, tales que K1l1 = K2l2. El primer resorte tiene un extremo conectado a P y el otro a un punto fijo O; el segundo resorte se conecta a la partícula y a un punto fijo A, separado de O por una distancia d. En la situación de equilibrio, los puntos O, P y A están alineados en la dirección y el sentido de \vec{g} (gravedad). ¿Cuáles deben ser los valores de la constante K y la longitud natural l0 de un único resorte que conectado al punto O, produzca la misma situación de equilibrio que los dos resortes?

 

5 Partícula vinculada, en equilibrio y con dos resortes no alineados

El sistema de la figura está formado por dos barras fijas conectadas en el punto O y dirigidas, una en la dirección de la vertical gravitatoria OX, y otra en una dirección horizontal OY. Una partícula pesada P, de masa m, se halla ensartada en la barra vertical, pudiendo deslizar por ella sin rozamiento. Un segundo punto material A, cuya masa es despreciable, está obligado a moverse siempre en la barra horizontal. Un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora K1 tiene conectados cada uno de sus extremos a dichos puntos móviles. Un segundo resorte de constante K2 y longitud natural l0 conecta la partícula sin masa A con el punto fijo O. Considerando que el rozamiento entre la barra horizontal y la partícula A es también despreciable, determine las posiciones que ocupan las partículas y las fuerzas de reacción vincular que actúan sobre ellas cuando ambas se encuentran en equilibrio.

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