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Primera Convocatoria Ordinaria 2017/18 (F1 G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Partícula en movimiento con trayectoria y ley horaria conocidas

Una partícula P se mueve respecto de un sistema de referencia cartesiano OXYZ, recorriendo la curva Γ descrita por la ecuación paramétrica:

\Gamma: \!\ \vec{r}(\varphi)= b\!\ \bigg(\cos^2 \varphi
\!\ \vec{\imath}+\,\mathrm{sen}^2\,
\varphi\!\ \vec{\jmath}\!\ +\frac{1}{\sqrt{2}}\ \,\mathrm{sen} 2\varphi\!\ \vec{k}\bigg)

El movimiento de la partícula tiene lugar en el intervalo 0\leq \varphi(t) \leq 2\pi, según la ley horaria \varphi(t)=\omega_0\!\ t. Los parámetros b y ω0 tienen valores constantes conocidos.


Obtenga las expresiones de las componentes intrínsecas y cartesianas de la velocidad y la aceleración, en función del tiempo. Obtenga también la ley horaria \displaystyle s(t) para el parámetro arco.

2 Interacciones y aceleraciones en sistema de tres partículas

Tres partículas PO, P1 y P2, de masas conocidas con valores m0, m1 y m2, respectivamente, interaccionan entre sí de manera que la fuerza \vec{F}_{ij} que la partícula Pj ejerce sobre la Pi, tiene la dirección del segmento \overrightarrow{P_jP_i} (es decir, \vec{F}_{ij}\parallel\pm\overrightarrow{P_jP_i}). En un determinado instante, las partículas ocupan los vértices de un triángulo equilátero; se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ tal que dicho triángulo está contenido en plano OXY, con el segmento \overrightarrow{P_2P_1} paralelo al eje OX, y la partícula P0 en el punto O. En dicho instante, las aceleraciones de las partículas P1 y P2 tiene igual dirección y sentido, siendo paralelas y opuestas al eje OY; es decir \vec{a}_1=-a_1\!\ \vec{\jmath}\ y \ \vec{a}_2=-a_2\!\ \vec{\jmath}, respectivamente, con a_1\mathrm{,}\, a_2>0
  1. Determine qué relación verifican los módulos de dichas aceleraciones, |\vec{a}_1|/|\vec{a}_2|, en función de las masas de las partículas.
  2. Determine la dirección y el sentido de la aceleración \vec{a}_0 de la partícula P0. ¿Cuánto vale su módulo en relación con los módulos de las aceleraciones de P1 y P2?


3 Sonda espacial sometida a la atracción gravitatoria de un planeta

Una sonda espacial, que se considera como partícula material P de masa m se dirige a un planeta de masa M, sometida exclusivamente a la acción gravitatoria de éste. El planeta está situado en el origen O de un sistema de referencia inercial OXYZ tal que la trayectoria Γ seguida por la sonda está contenida en el plano OXY. Si se utilizan las coordenadas polares para indicar la posición de la sonda/partícula en cada instante, la trayectoria Γ seguida por la partícula en su movimiento de aproximación al planeta y su posterior alejamiento,queda descrita por la siguiente ecuación:

\overrightarrow{OP}= \vec{r}(t)=r(t)\!\ \left[\cos \theta (t)\!\ \vec{\imath}+ \mathrm{sen}\!\ \theta(t)\!\ \vec{\jmath}\right]=r(t)\!\ \vec{u}_r (t)\quad \Longrightarrow\quad \Gamma: r(\theta)=\frac{2\!\ b}{1- 2\!\  \mathrm{sen}\!\ \theta}\mathrm{,}\quad \mathrm{con}\;\; \frac{5\pi}{6}<\theta< 2\pi+\frac{\pi}{6}

Cuando se encuentra a distancias muy grandes del planeta (r\longrightarrow\infty), la sonda sigue trayectorias prácticamente rectilíneas y paralelas a las rectas θ = 5π / 6, cuando se aproxima al planeta), y θ = π / 6 cuando se aleja. En consecuencia, cuando la sonda se aproxima al planeta, pero aún se encuentra a una gran distancia de éste, la velocidad instantánea de aquélla, \, \vec{v}(\theta\approx5\pi/6), tiene la dirección y sentido del vector \vec{u} =(1/2)\!\ \big[\sqrt{3}\!\ \vec{\imath}-\vec{\jmath}\big] (es decir, paralela a la recta correspondiente a \theta=5\!\ \pi/6); además, su módulo es \, v_0=\sqrt{3GM/2b}.

Por otra parte, la sonda alcanza su máxima aproximación al planeta en el instante tm, cuando se encuentra en la posición θ(tm) = 3π / 2, donde se verifica que la velocidad de la sonda es perpendicular al radio-vector posición.

  1. Obtenga una expresión para el módulo de la velocidad (celeridad) de la sonda, como una función de su posición, dada por el valor del ángulo θ, |\vec{v}|=v(\theta).
  2. Determine la dirección, el sentido y el módulo del momento cinético de la partícula respecto de O (magnitud vectorial \vec{L}_O) en un instante t cualquiera, en el cuál la sonda ocupa la posición dada por θ(t).

 

4 Movimiento instantáneo de triángulo rígido con vértices en planos ortogonales

Un sólido rígido con forma de triángulo plano se mueve con sus vértices A, B y C en contacto permanente con los respectivos planos OYZ, OXZ y OXY, de manera que en todo momento se verificará
\vec{v}^A\perp\vec{\imath}\mathrm{;}\quad \vec{v}^B\perp\vec{\jmath}\mathrm{;}\quad \vec{v}^C\perp\vec{k}

En un determinado instante en que los vértices del triángulo ocupan los puntos de coordenadas conocidas A(0,b,c)\mathrm{,}\;\; B(a,0,c)\mathrm{,}\, y \, C(a,b,0), se comprueba que las velocidades de B y C son idénticas (\vec{v}^B=\vec{v}^C), siendo v0 el módulo de ambas.

  1. Determine las componentes de la velocidad del vértice A en dicho instante.
  2. También en el instante considerado, ¿qué dirección debe tener el vector rotación \vec{\omega}, característico del movimiento del sólido? Justifique su respuesta y obtenga la expresión analítica (componentes) de dicho vector.


5 Movimiento plano de semidisco y barra sobre plano fijo

El semidisco de radio R y “centro” C (sólido “2”), y la barra OA de longitud |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{2}\!\  R (sólido “0”) que se muestran en la figura, se mueven contenidos en todo momento en el plano fijo \Pi_1\equiv O_1X_1Y_1$ (sólido “1”). El extremo A de la barra se halla articulado en el extremo del diámetro ACD del semidisco, de manera que el punto del sólido “2” que ocupa la posición A se encuentra en reposo permanente respecto del sólido “0” (es decir, \vec{v}_{20}^A=\vec{0} en todo instante). El extremo O de la barra “0” desliza sobre la superficie horizontal que se corresponde con el eje O1X1. Por su parte, el semidisco 2 mantiene un contacto puntual con la superficie horizontal que constituye el sólido “1” y que coincide con el eje O1X1, por lo que su “centro” C se mantiene siempre a una distancia R de dicho eje, desplazándose con velocidad siempre paralela al mismo. En el instante considerado, el diámetro ACD esta colocado paralelo al eje O1X1; el punto C se desplaza con velocidad v0 en el sentido negativo del eje O1X1, a la vez que rueda sin deslizar en el punto correspondiente a la posición de contacto B (es decir, \vec{v}_{21}^B=\vec{0}). Para dicho instante...
  1. Indique las posiciones correspondientes a los C.I.R. de los movimientos {21}, {20} y {01}. Justifique su respuesta.
  2. Obtenga los vectores rotación instantánea \vec{\omega}_{21}\mathrm{;}\;\vec{\omega}_{01}\mathrm{;}\, y \, \vec{\omega}_{20}, y la velocidad con que desliza el extremo O de la barra “0”

6 Cuerpo puntual sobre rampa con rozamiento y resorte

Un cuerpo que puede ser considerado como un punto material P de masa m, se encuentra en una rampa estrecha OA que forma con la horizontal un ángulo α tal que \,\mathrm{sen}\,\alpha=3/5 y \,\mathrm{cos}\,\alpha=4/5. Entre partícula y rampa se establece un contacto unilateral; además, el contacto es rugoso, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento seco, que aproximadamente tiene el mismo valor, tanto para el caso estático como para el dinámico

\mu_e\approx\mu_d=\mu. Un resorte de longitud natural b y constante recuperadora K conecta la partícula P con el extremo fijo de la rampa, O. Se sugiere utilizar un sistema de referencia cartesiano en que la rampa coincide con el eje OX y el eje OY es perpendicular a la superficie Σ de la misma. Los parámetros del sistema presentan valores tales que verifican la relación \,mg=Kb.


  1. Obtenga la posición de la rampa en que la partícula se mantendría en equilibrio, Peq = P(xeq,0), en el caso en que no hubiese rozamiento (μ = 0). Calcule el valor de la reacción normal del plano-rampa sobre la partícula.
  2. Analice el equilibrio del sistema en el caso de que exista rozamiento (\mu\neq 0), y obtenga la expresión algebraica que permite determinar el rango de posiciones de equilibrio de la partícula en la rampa. ¿Cuál es dicho rango para el caso μ = 1 / 2?
  3. Estando la partícula en el punto O, se aplica una fuerza \vec{F}_\mathrm{ext}, que en todo momento tiene la dirección y sentido opuesto al peso de la partícula para que ésta ascienda por la rampa; es decir, \vec{F}_\mathrm{ext}=F(x)\!\ [(3/5)\!\ \vec{\imath}+(4/5)\!\ \vec{\jmath}]. ¿Cómo deber ser F(x) para que la partícula se desplace a lo largo de la rampa con velocidad constante? ¿Cuál debe ser su valor máximo para que la partícula no pierda el contacto con la rampa?
  4. Calcule el trabajo realizado por la fuerza \vec{F}_\mathrm{ext} para llevar la partícula desde O hasta el punto P0 = P(x0,0) en que pierde el contacto con la rampa. ¿Y qué trabajo ha realizado la fuerza de rozamiento en el proceso?


7 Dos discos en planos ortogonales rodando sin deslizar sobre un plano fijo

En el sistema de la figura, el sólido “0” consiste en dos barras OA y OB de direcciones perpendiculares y rígidamente unidas entre sí, que determinan los respectivos ejes OX0 y OY0 del sistema de referencia ligado a dicho sólido. Las longitudes de los brazos son tales que \overrightarrow{OA}=3\!\ R\!\ \vec{\imath}_0, y \overrightarrow{OB}=4\!\  R\!\ \vec{\jmath}_0. Este sólido “0” se mueve respecto de un sistema de referencia O1X1Y1Z1 (sólido “1”) de manera que, en todo momento, OZ_0\|O_1Z_1 y la posición del punto O es, \overrightarrow{O_1O}=R\!\ \vec{k}_1. Así, la reducción cinemática de dicho movimiento en todo instante de tiempo es:

S_{01}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{01}=\Omega\!\ \vec{k}_{1,0}\mathrm{;}\quad \vec{v}_{01}^O=\vec{0}\bigg\}\mathrm{,}\;\;\forall\, t

siendo Ω un valor constante. Un disco de radio R (sólido “2”), con su centro fijado en el extremo A del sólido “0”, se mantiene siempre en el plano perpendicular al brazo OA, girando en torno a éste. Un segundo disco de igual radio R (sólido “3”), con su centro fijado en el extremo B del brazo OB, se mantiene siempre en el plano perpendicular a dicho brazo, girando en torno al mismo. Además, los discos “2” y “3” ruedan y/o pivotan sin deslizar sobre el plano fijo \, \Pi_1=O_1X_1Y_1\, del sólido “1”, en los respectivos puntos de contacto C y D.

  1. Obtenga las reducciones cinemáticas correspondientes a los movimientos de los discos respecto del plano fijo Π1 (movimientos {21} y {31}). Se sugiere utilizar la posición O como centro de reducción, y el sistema de referencia asociado al sólido “0” para describir los vectores.
  2. Obtenga la reducción cinemática del movimiento del disco “3” respecto del disco “2” (movimiento {32}). Discuta qué tipo de movimiento es y la posición de los puntos con velocidad mínima en dicho movimiento.
  3. Obtenga las derivadas temporales de los vectores de la reducción cinemática del movimiento {32}, \displaystyle
\vec{\alpha}_{32}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{32}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{2}\mathrm{;}\quad
\vec{a}_{32}^O=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{32}^O}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{2}

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