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Primera Convocatoria Ordinaria 2014/15 (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Disco contenido en plano rotante

Un disco de radio R (sólido "2"), se mueve siempre contenido en el plano OX0Z0 (sólido "0"), rodando sin deslizar sobre el eje OX0; además, su centro C se desplaza en dicho plano dirigiéndose hacia el eje OZ0 con velocidad constante v0. El plano Π0 se mantiene siempre vertical y perpendicular al plano fijo Π1, pero girando en sentido antihorario alrededor del eje OZ0 = OZ1, con velocidad angular constante de valor Ω. Obtenga la expresión de la aceleración, medida desde el sólido "1", del punto del disco que ocupa la posición D de contacto con el plano Π1, en el instante en que el centro C se encuentra a una distancia d del eje OZ0,1. ¿Cuáles son las componentes intrínsecas de dicha aceleración?

2 Vector rotación de un punto recorriendo una circunferencia

Un punto material P se mueve recorriendo la circunferencia Γ, contenida en un plano Π, cuya ecuación paramétrica es


\Pi : \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OC} + \lambda\,\vec{a} + \mu\,\vec{b}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}

donde C es el centro de la circunferencia. Para describir analíticamente las magnitudes vectoriales se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ, en el cual \vec{a} = 2\,\vec{\imath} - \vec{\jmath} y \vec{b} = \vec{\jmath} - \vec{k} , y la posición de C está determinada por el segmento orientado \overrightarrow{OC}=\vec{\jmath} + \vec{k} (con las componentes medidas en metros). En el instante inicial (t = 0), el punto móvil P ocupa la posición determinada por el segmento orientado \overrightarrow{OP}_0 = 2\,\vec{\jmath} . A partir de ésta, la partícula realiza un movimiento circular uniforme, con velocidad de 2\,\mathrm{m/s} . Determine el vector rotación instantánea \vec{\omega}_0 que caracteriza este movimiento circular.

3 Partícula moviéndose sobre una hélice

Una partícula P de masa m está insertada en la hélice fija y uniforme Γ. Utilizando un sistema de referencia cartesiano OXYZ, en el cuál la gravedad está descrita analíticamente por el vector \vec{g}=-g\vec{k} , la ecuación parámetrica de dicha hélice es:


\Gamma:\vec{r}(\theta) = x(\theta)\,\vec{\imath} + y(\theta)\,\vec{\jmath} + z(\theta)\,\vec{k}
\left\{
\begin{array}{l}
x(\theta) = a\cos\theta\\
\\
y(\theta) = a\,\mathrm{sen}\,\theta\\
\\
z(\theta) = \lambda\,\theta
\end{array}
\right.

donde a y λ son constantes. EL parámetro geométrico θ es el ángulo que forma con el eje OX la proyección del radio-vector \vec{r}=\overrightarrow{OP} sobre el plano horizontal OXY. Cuando la partícula recorre la hélice Γ, sin rozamiento apreciable, su movimiento queda descrito por la ley horaria θ(t).

  1. Determine cuál debe ser el valor de la constante λ para que el radio de curvatura de la hélice sea Rκ = 3a / 2. ¿Qué distancia h asciende la partícula en la dirección vertical cada vez que da una vuelta completa alrededor del eje OZ.
  2. Obtenga la expresiones de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración en términos de la ley horaria θ(t) y/o sus derivadas.
  3. Discuta razonadamente si se verificará la conservación (total o parcial) del momento cinético \vec{L}_O de la partícula, calculado respecto del punto fijo O.


4 Escuadra con barra vertical

En la figura se muestran los sólidos rígidos "0" y "2" que realizan sendos movimientos planos respecto del plano director fijo \Pi_1\equiv O_1X_1Y_1 (sólido "1"). El sólido "0" está formado por dos barras, OA y OB, ambas de longitud a y rígidamente unidas formado un recto. El sólido "2" es una barra rígida CD, también de longitud a, cuyos extremos siempre están en contacto con las barras OA y OB, respectivamente.

A partir de la posición inicial en que el vértice O del sólido "0" coincide con el punto fijo O1 , y las barras OA y OB están alineadas con los ejes O1X1 y O1Y1, respectivamente, el sólido "0" se mueve, respecto de Π1, rotando en sentido horario. En dicho movimiento, el módulo del correspondiente vector rotación tiene un valor constante en el tiempo ω0. Además, los puntos O y A de dicho sólido recorren, respectivamente, los ejes O1Y1 y O1Y1. Simultáneamente, los extremos C y D del sólido "2" recorren las barras OA y OB,respectivamente, de manera que CD permanece en todo momento paralela al eje O1Y1.

  1. Obtenga de manera razonada e indique la posición de los C.I.R. de los movimientos relativos {01}, {20} y {21} en el instante reflejado en la figura, en que el ́angulo θ(t)tiene un valor π / 6. Indique también las direcciones de las velocidades de los extremos C y D del sólido "2", medidas desde el sistema de referencia "1" (movimiento {21}).
  2. Obtenga las reducciones cinemáticas de los tres movimientos en el instante mostrado en la figura.
  3. También para la posición analizada en los apartados anteriores, determine la aceleración instantánea de los puntos del sólido "2" en el movimiento {21}.

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