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Primera Convocatoria Ordinaria 2012/13 (G.I.A.)

De Laplace

1 Acción de motor sobre partícula vinculada

Una pieza de masa m está obligada a moverse siempre dentro de un carril fijo horizontal, perpendicular a la dirección de la gravedad, \vec{g} =-g\!\ \vec{k}. Un resorte de longitud natural despreciable y constante recuperadora K conecta la pieza con un punto fijo A, situado a una altura a en la vertical del extremo O del carril. El sistema se diseña de manera que los parámetros anteriores verifiquen la relación, Ka = mg. En el otro extremo del carril hay un motor que enrolla de manera continua un cable conectado a la pieza, haciendo que ésta se desplace con velocidad constante de valor v0, desde su posición inicial en el extremo O del carril. El contacto entre la pieza y el carril es de naturaleza rugosa, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico de valor μ.
  1. Obtenga la expresión de la fuerza que describe la acción del cable sobre la pieza, en función de su distancia al extremo O.
  2. Determine la potencia instantánea desarrollada por el motor en un instante t, medido desde el instante inicial.
  3. Calcule la trabajo realizado por el motor.

2 Propiedades cinemáticas instantáneas de pieza triangular

Una pieza triangular ABC se mueve respecto de un sistema de referencia OXYZ, comportándose como un sólido rígido. Los vértices C y B de la pieza van recorriendo los ejes OZ y OY, respecti-vamente, mientras que el vértice A se desplaza siempre contenido en el plano OXY. En un determinado instante, cuando los vértices ocupan las posiciones de coordenadas
A(a,a,0)\mathrm{;}\quad B(0,2a,0)\mathrm{;}\quad C(0,0,2a)

la velocidad instantánea del vértice B es \vec{v}^B=v_0\!\ \vec{\jmath}. Determine, para dicho instante de tiempo:

  1. Velocidad del vértice A y vector rotación instantánea.
  2. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.
  3. Derivada instantánea del vector rotación, sabiendo que el vértice B se mueve con velocidad instantánea constante.

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