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Presión en el interior del océano

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcule la presión absoluta a 1000 m de profundidad en el océano. Considere que la densidad del agua es 1024 kg/m³ y que el aire que hay encima ejerce una presión de 101.3 kPa. A esta profundidad, ¿qué fuerza debe ejercer el armazón de la escotilla circular, de radio 30.0 cm, de un submarino para contrarrestar la fuerza del agua?

2 Presión a una cierta profundidad

Podemos admitir que la densidad del agua prácticamente no varía con la profundidad (aunque existe un ligero incremento debido al descenso de la temperatura y aumento de la salinidad). En este caso, considerando el peso de una columna vertical sobre un punto situado a una profundidad h tenemos

p = p_0 + \rho g h\,

Sustituyendo

p = 101.3\,\mathrm{kPa} + \left(1024\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\right)\left(9.81\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}\right)(1000\,\mathrm{m}) = 10.147\,\mathrm{MPa}

lo que equivale a unas 100 atmósferas.

3 Fuerza sobre una escotilla

La fuerza sobre una escotilla es debida a la diferencia de presiones entre sus dos caras. El interior del submarino se encuentra a una atmósfera, por lo que

F = \Delta p\,A = (p-p_0)\pi R^2 = \pi \rho g h R^2 = 2.94\times 10^6 \,\mathrm{N}

esto es, el equivalente a un peso de 289 toneladas situadas sobre la escotilla.

4 Corrección debida a la variación de la densidad

En los océanos, la densidad aumenta con la profundidad debido a la disminución de la temperatura y al aumento de la salinidad. Esta variación, conocida como picnoclina, está determinada experimentalmente de forma que en la superficie la densidad vale 1024 kg/m³ y a 1000 m vale 1028 kg/m³, siendo la variación aproximadamente lineal. Podemos entonces escribir la densidad como

\rho(z) = \rho_0 + \frac{\rho_0-\rho_h}{h} z

con

\rho_0=1024\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}        \rho_h=1028\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}

En este caso, la variación de la presión con la profundidad cumple

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\rho g = -\rho_0g - \frac{\rho_0-\rho_h}{h} g z

Integrando aquí

 p = p_0 -\rho g z -\frac{(\rho_0-\rho_h)g}{2h}z^2

que en z = − h nos da

p = p_0 + \frac{\rho_0+\rho_h}{2} g h

es decir, equivale a que consideremos una densidad uniforme de 1026 kg/m³ (la media entre los extremos). Esto da una presión

p = 10.166\,\mathrm{MPa}

Vemos que la diferencia entre este resultado y el obtenido en el primer apartado es muy pequeña.

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