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Potencial y campo en el centro de una semicorona esférica

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene el sistema de la figura, formado por una semicorona esférica de radios R y 2R, con una densidad volumétrica de carga uniforme ρ0. Se pide
  1. Calcular el potencial eléctrico en el punto O.
  2. Calcular el trabajo necesario para trasladar una carga q desde el punto A hasta el punto B.
  3. Calcular el campo eléctrico en el punto O.
  4. Calcular, hasta el segundo orden de aproximación, la expresión aproximada del potencial en puntos alejados del sistema.


2 Potencial en el punto O

Escogemos un sistema de coordenadas esféricas, de modo que el origen está en el punto O y el plano XY contiene a los puntos A y B. De este modo el volumen cargado esta definido por las coordenadas

\begin{array}{l}
R\leq r\leq 2R\\
0\leq \theta \leq \pi/2\\
0\leq \varphi \leq2\pi
\end{array}

El sistema tiene simetría en \varphi, pero no en θ. Por tanto no se puede usar la ley de Gauss con superficies esféricas para calcular el campo eléctrico. Hay que recurrir a la integración directa. El potencial eléctrico creado por una distibución con densidad de carga ρ en un punto \mathbf{r} es


\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int
\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'

En este caso queremos calcular el potencial en el punto O, esto es, en \mathbf{r}=0. Por tanto, teniendo en cuenta que la densidad de carga es uniforme, la expresión queda

\Phi(O) = \frac{\rho_0}{4\pi\varepsilon_0}\int
\frac{\mathrm{d}\tau'}{r'}

En coordenadas esféricas \mathrm{d}\tau'=r'^2\mathrm{sen}\theta'\mathrm{d}r'\mathrm{d}\theta'\mathrm{d}\varphi'. Teniendo en cuenta los límites de integración expresados más arriba, el potencial en O es


\Phi(O) = \frac{3\rho_0 R^2}{4\varepsilon_0}

3 Trabajo para llevar una carga desde A hasta B

El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos en el eseno del campo producido por la semicorona es


W_{A\to B} = q\left[ \Phi(B)-\Phi(A)\right]

Si elegimos el eje X de modo que pase por el punto A las coordenadas esféricas de estos puntos son


\begin{array}{l}
\mathbf{r}_A = (2R,\pi/2,0)\\
\mathbf{r}_B = (2R,\pi/2,\pi)
\end{array}

es decir, sólo se diferencian en el valor de la coordenada \varphi. Pero, por simetría, el potencial no depende de \varphi. Por tanto Φ(A) = Φ(B) y el trabajo pedido es


W_{A\to B} = q\left[ \Phi(B)-\Phi(A)\right]=0

4 Campo eléctrico en el punto O

De nuevo hay que calcular el campo por integración directa. El campo producido en un punto es


\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int
\frac{\rho(\mathbf{r}') (\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\mathrm{d}\tau'

En el punto O tenemos \mathbf{r}=\mathbf{0} y el campo vale, teniendo en cuenta que la densidad de carga es uniforme


\mathbf{E}(O) = -\frac{\rho_0}{4\pi\varepsilon_0}\int
\frac{\mathbf{r}'}{r'^3}\mathrm{d}\tau'

Expresando el vector de posición en coordenadas esféricas tenemos


\mathbf{r}'=r'\mathbf{u}_r

y el campo en O es


\mathbf{E}(O) = -\frac{\rho_0}{4\pi\varepsilon_0}\int
\frac{\mathbf{1}}{r'^2}\mathbf{u}_{r'}\mathrm{d}\tau'

El vector \mathbf{u}_{r'} depende de las coordenadas angulares, por lo que no se puede sacar de la integral. Para poder hacerla expresamos el vector en la base cartesiana, cuyos vectores unitarios no dependen de las coordenadas. De este modo la integral queda


\int\frac{1}{r'^2}\mathbf{u}_{r'}\mathrm{d}\tau'=
\int\frac{1}{r'^2}
(
\mathrm{sen}\,\theta'\cos\varphi'\mathbf{u}_x +
\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathrm{sen}\,\varphi'\mathbf{u}_y +
\cos\theta'\mathbf{u}_z)
\mathrm{d}\tau'

Teniendo en cuenta los límites de integración, las integrales en X e Y se anulan. El campo final es


\mathbf{E}(O) = -\frac{\rho_0R} {4\varepsilon_0}\mathbf{u}_z

Este resultado es razonable pues, suponiendo que la densidad de carga es positiva, el campo eléctrico debe apuntar hacia abajo.

5 Potencial en zonas alejadas

Para una distribución de carga, el potencial en puntos alejados de ellas se expresa de manera aproximada usando el desarrollo multipolar.


\Phi(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} + 
\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} + \ldots

donde Q y \mathbf{p} son la carga total y el momento dipolar, respectivamente. En este caso ambos son no nulos:


\begin{array}{l}
Q = \int \rho(\mathbf{r}')\mathrm{d}\tau'=\rho_0\int \mathrm{d}\tau' = \rho_0\left(\frac{2}{3}\pi(2R)^3-\frac{2}{3}\pi(R)^3\right) = \frac{\displaystyle 14\pi\rho_0R^3}{\displaystyle 3}\\ \\
\mathbf{p} = \int \rho(\mathbf{r}')\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau'=\rho_0\int\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau' = \displaystyle \frac{15\pi\rho_0 R^4}{4}\mathbf{u}_z
\end{array}

Dado que, usando esféricas \mathbf{r}\cdot\mathbf{u}_z=pr\cos\theta el potencial en puntos alejados es


\Phi(\mathbf{r}) = \frac{14\rho_0 R^3}{12\varepsilon_0 r} + 
\frac{15\rho_0R^4\cos\theta}{16\varepsilon_0 r^2} + \ldots =
\frac{14\rho_0R^3}{12\varepsilon_0 r}\left(1 + \frac{45 R\cos\theta}{56r} + \ldots \right)

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