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Potencial vector magnético

De Laplace

Contenido

1 Definición

De que el campo magnético sea solenoidal se deduce que puede escribirse como el rotacional de otro campo vectorial, denominado potencial vector magnético

\nabla\cdot\mathbf{A}   \Rightarrow   \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}

2 Expresión integral

Al demostrar la ley de Gauss para el campo magnético ya se da una expresión para este potencial vector

\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'

con expresiones correspondientes para corrientes lineales o de superficie

\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}        \mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{K}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}S'

Estas expresiones pueden superponerse, para una distribución compuesta de varios tipos individuales. Sin embargo, esta expresión, aparte de que sólo vale para corrientes estacionarias, no es la única posible.

3 Falta de unicidad

Dado un campo magnético, existen infinitos potenciales vectores posibles, los cuales se diferencian en el gradiente de una función escalar arbitraria

\mathbf{A}_1=\mathbf{A}_2+\nabla\psi

siendo la demostración inmediata, sin más que tomar el rotacional de ambos miembros. La libertad de elección de ψ hace que podamos tener potenciales vectores muy diferentes para el mismo campo.

4 Aplicaciones

La utilidad del potencial vector es limitada, por su naturaleza vectorial, que hace que no reduzca sustancialmente el problema del cálculo de \mathbf{B}.

Sirve como herramienta en los casos en que tenemos corrientes fluyendo siempre según la misma componente. Por ejemplo, si \mathbf{J} = J\mathbf{u}_z podemos suponer \mathbf{A} = A\mathbf{u}_z. Si \mathbf{J} = J(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi podemos suponer \mathbf{A} = A(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi. En estos casos el cálculo del potencial vector se reduce a determinar una sola componente, de forma similar a como se hace con el potencial escalar del campo electrostático. La otra utilidad del potencial vector es su uso en deducciones teóricas acerca del campo magnético y para el electromagnético, Uno de estos casos es en el desarrollo multipolar magnético.

El potencial vector es útil a la hora de calcular flujos magnéticos, ya que

\Phi_m = \int_S \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \oint_\Gamma \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}

siendo S una superficie apoyada en Γ y orientada según la regla de la mano derecha.

5 El potencial vector y el campo eléctrico

Artículo completo: Potenciales electromagnéticos

El potencial vector magnético no solo se relaciona con el campo \mathbf{B}. También existe una relación con el campo eléctrico, consecuencia de la interrelación entre los campos eléctrico y magnético. En situaciones no estacionarias tenemos que dos de las ecuaciones de Maxwell son

\nabla\cdot\mathbf{B}=0        \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

De la primera ya sabemos que se deduce la existencia del potencial vector magnético. Sustituyendo en la segunda (ley de Faraday) queda

\nabla\times\left(\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right)=\mathbf{0}

y de aquí se deduce que

\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla\phi

esto es, que en situaciones no estacionarias, el campo eléctrico no deriva de un potencial escalar, sino que también incluye la derivada temporal del potencial vector magnético.

6 Ejemplos

6.1 Solenoide infinito

Para un solenoide cilíndrico de radio a y longitud finita, el campo magnético, obtenido empleando las leyes de la magnetostática, es igual a

\mathbf{B}=\begin{cases}\mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (\rho>a) \end{cases}

Un potencial vector del que deriva este campo cumple las ecuaciones

\nabla\cdot\mathbf{A}=0        \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}=\begin{cases}\mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (\rho>a) \end{cases}

La primera de las dos ecuaciones es una condición extra que siempre podemos imponer para determinar un potencial vector. La segunda ecuación nos dice que las fuentes vectoriales de \mathbf{A} son uniformes y en la dirección Z dentro de un cilindro de radio a y nulas en el exterior. Estas ecuaciones son completamente análogas a las que verifica el campo magnético respecto de la densidad de corriente en el caso de un cable grueso. Por ello, la expresión para el potencial vector es la análoga a la del campo magnético en ese sistema;

\mathbf{A}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0nI\rho}{2}\mathbf{u}_\varphi & (\rho<a) \\ \displaystyle\frac{\mu_0nIa^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi & (\rho>a) \end{cases}

6.2 Dipolo magnético

Para un dipolo magnético puntual \mathbf{m}, situado en el origen de coordenadas, el potencial vector es igual a

\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}

Esta expresión es análoga al potencial eléctrico de un dipolo eléctrico \mathbf{p}

\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}

cambiando el producto escalar por el vectorial.

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