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Potencial eléctrico debido a una polarización

De Laplace

El potencial eléctrico debido a una polarización es la suma de los potenciales debidos a cada dipolo.

El potencial de un solo dipolo situado en el origen de coordenadas es

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}

Si en lugar de encontrarse en el origen se encuentra en un punto \mathbf{r}_0 empleamos la posición relativa a este punto

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}

Si ahora consideramos un conjunto de dipolos situados en posiciones \mathbf{r}_i el potencial eléctrico total será la suma de los potenciales individuales

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}

Cuando el número de dipolos es muy grande, la suma se puede aproximar por una integral. Para ello, dividimos el volumen total polarizado en elementos de volumen Δτ' y aplicamos que, según la definición de polarización de un medio material

\sum_{\mathbf{p}_i\in\Delta\tau'}\mathbf{p}_i = \mathbf{P}(\mathbf{r}')\,\Delta\tau'

con lo que queda

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\sum_{\mathbf{p}_i\in\Delta\tau'}\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\right)\simeq  \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\Delta\tau'\right) \to \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau \mathbf{P}(\mathbf{r}'){\cdot}\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'

Esta integral suele ser difícil de calcular por métodos analíticos. Uno de los pocos ejemplos en los que es factible es el de una esfera polarizada uniformemente.

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