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Potencial eléctrico debido a una esfera maciza

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Halle, a partir del campo eléctrico, el potencial eléctrico debido a una esfera de radio R que almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen.

Para el centro de la esfera, calcule el potencial eléctrico por integración directa. Compruebe que el resultado coincide con el interior para este punto.

2 Potencial en cualquier punto

Tal como se ve en el problema “Campo de distribuciones con simetría esférica” el campo producido por una carga Q distribuida uniformemente en un volumen esférico es, escrito en su forma más usual

\vec{E}=\begin{cases} \displaystyle \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec{r} & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > R \end{cases}=\begin{cases} \displaystyle \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\vec{u}_r & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > R \end{cases}
Archivo:Dependenciacampoesfera.gif

Las dos pueden escribirse en términos de la carga total o de la densidad de carga sin más que sustituir el que la densidad de carga es igual a la carga total dividida por el volumen en que está distribuida

\rho_0=\frac{Q}{4\pi R^3/3}=\frac{3Q}{4\pi R^3}

Para hallar el potencial eléctrico en cualquier punto del espacio debemos integrar este campo desde el infinito (origen de potencial) hasta el punto donde queremos conocerlo. Tenemos dos casos:

2.1 Exterior de la esfera

Esta parte del problema es idéntica al cálculo del potencial para una carga puntual y para una esfera hueca. Hallamos el potencial integrando desde el infinito (origen de potencial) hasta el punto P donde queremos calcularlo

V(P)=-\int_\infty^P \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}

Tomamos un camino recto radial desde el infinito hasta una distancia r > R. Por ser radial, el diferencial de camino va en la dirección de \vec{u}_r y mide lo que cambie la distancia al centro de la esfera:

\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}r\,\vec{u}_r

Este camino discurre completamente por exterior de la esfera.

Archivo:integral-campo-esfera-01.png

Por tanto, en todos los puntos por los que pasa el campo tiene la expresión

\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r

Nos queda el producto escalar

\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\frac{Q\,\mathrm{d}r}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\qquad \qquad (\vec{u}_r\cdot\vec{u}_r=1)

y la integral

V(P) = V(r) = -\int_\infty^r \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\infty}^r \frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}

Este potencial es idéntico al de una carga puntual, lo cual es lógico, ya que si es el campo exterior es equivalente al de una carga su integral también lo será.

2.2 Interior de la esfera

Como en el problema de la esfera hueca para los puntos del interior hay que tener cuidado con el que el origen de potencial se halle en el infinito.

Esto quiere decir que para llegar al punto de destino P hay que recorrer un tramo por el exterior y otro por el interior de la esfera.

Archivo:integral-campo-esfera-02.png

Considerando un camino rectilíneo, dividimos la integral en dos partes, una hasta el punto B en que toca a la esfera y otra desde ahí hasta P

V(P) = -\int_O^P\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\int_O^B\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}-\int_B^P\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}

Sustituyendo la expresión del campo en cada región queda

V(P) = V(r) = -\int_\infty^R\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\mathrm{d}r-\int_R^r\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0 r\,\mathrm{d}r = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}-\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\left(\frac{r^2}{2}-\frac{R^2}{2}\right)

Sustituimos el valor de la densidad de carga

\rho_0=\frac{Q}{4\pi R^3/3}=\frac{3Q}{4\pi R^3}

y queda

V(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}+\frac{Q(R^2-r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3} = \frac{Q(3R^2-r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3}

2.3 Potencial en cualquier punto del espacio

Reunimos los dos resultados y queda la expresión general

V(r) = \begin{cases} \dfrac{Q(3R^2-r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3} & r < R \\ & \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r \geq R\end{cases}

La gráfica de esta función es parabólica en el interior de la esfera e hiperbólica en el exterior.

3 Potencial en el centro de la esfera

3.1 Por integración del campo eléctrico

Particularizando la expresión anterior para r = 0 queda

V(0) = \frac{Q(3R^2)}{8\pi\varepsilon_0 R^3} = \frac{3 Q}{8\pi\varepsilon_0 R}

Este valor es un 50% mayor que el de la esfera cargada superficialmente.

3.2 Por integración directa

El potencial eléctrico en un punto también puede hallarse mediante la integral

V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Q\frac{\mathrm{d}q'}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

En este caso, como deseamos hallar el potencial en el centro de la esfera

\vec{r} = 0

y por tanto la distancia del denominador es simplemente la coordenada radial

|\vec{r}-\vec{r}'| = |\vec{r}'| = r'
Archivo:integral-campo-esfera-03.png

Como diferenciales de volumen tomamos capas esféricas concéntricas de espesor diferencial

\mathrm{d}v'=S\,\mathrm{d}r'=4\pi r'^2\,\mathrm{d}r'

La carga de este elemento es el producto de su volumen por la densidad

\mathrm{d}q'=\rho_0\,\mathrm{d}v'=4\pi \rho_0 r'^2\,\mathrm{d}r'

Los límites de integración dan el rango de variación de la coordenada radial en la distribución de carga, y va de 0 a R. Por ello, resulta

V(0) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R \frac{4\pi\rho_0 r'^2\,\mathrm{d}r'}{r'^2}=\frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\int_0^R r'\mathrm{d}r'= \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}

Para comparar este resultado con el anterior sustituimos el valor de la densidad de carga

V(0) = \frac{R^2Q/(4\pi R^3/3)}{2\varepsilon_0}=\frac{3Q}{8\pi\varepsilon_0R}

que efectivamente coincide con el potencial que habíamos calculado por el otro camino.

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