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Potencial de dos cargas puntuales

De Laplace

1 Enunciado

Halle el potencial creado por dos cargas q1, q2 situadas a una distancia a una de la otra. Demuestre que la superficie equipotencial V = 0 es una esfera.

2 Solución

El potencial creado por estas dos cargas en cualquier punto del espacio es

\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)

La equipotencial V=0 vendrá dada por la ecuación

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)=0

No es evidente que ésta sea la ecuación de una esfera. Para ponerlo de manifiesto reescribimos la ecuación como

\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2\right|=\gamma \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1\right|    \gamma=\frac{q_2}{q_1}

Supondremos, sin pérdida de generalidad, que γ < 1, esto es, que q2 es la menor en magnitud de las dos cargas.

Podemos tomar el origen de coordenadas en la carga q1 y el eje Z el que pasa por las dos cargas, de forma que \mathbf{r}_2=a\mathbf{u}_z. Expresando el vector de posición en cartesianas esta ecuación queda

\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}=\gamma \sqrt{x^2+y^2+z^2}

Elevando al cuadrado y agrupando términos

\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1-\gamma^2\right)-2za + a^2 = 0

Esta es ya claramente la ecuación de una esfera. Para identificar su radio y la posición del centro, despejamos y competamos cuadrados

x^2+y^2+z^2-2z\frac{a}{1-\gamma^2} + \frac{a^2}{1-\gamma^2} = 0
x^2+y^2+\left(z-\frac{a}{1-\gamma^2}\right)^2  = \frac{a^2}{(1-\gamma^2)^2}-\frac{a^2}{1-\gamma^2}=\frac{a^2\gamma^2}{(1-\gamma^2)^2}
De aquí obtenemos el radio y el centro de la esfera
R = \frac{a\gamma}{1-\gamma^2}        \mathbf{C}=\frac{a\mathbf{u}_z}{1-\gamma^2}
  • Dado que \mathbf{C}\neq \mathbf{0} y \mathbf{C}\neq \mathbf{r}_2, la esfera no está centrada en ninguna de las dos cargas
  • Puesto que |\mathbf{C}|-R < a < |\mathbf{C}|+R, esta esfera envuelve a la menor de las dos cargas, aunque no está centrada en ella.
  • Sólo la equipotencial V = 0 es una esfera. El resto de las equipotenciales tienen formas más complicadas, no esféricas.

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