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Potencia radiada por el Sol

De Laplace

1 Enunciado

La superficie del Sol tiene una temperatura de unos 5800 K. El radio del Sol es igual a 6.96\times10^8\,\mathrm{m}. Calcule la energía total radiada por el Sol cada segundo si la emisividad es e = 0.965. Calcule la potencia que llega a la superficie de la Tierra, si el radio de esta es R_T=6400\,\mathrm{km}, y la distancia media Tierra-Sol es D=150\times10^6\,\mathrm{km}.

2 Solución

La potencia emitida por una superficie irradiante es


P=\sigma A e T^4\,

donde T es la temperatura absoluta,e es la emisividad de la superficie, A es el área de la superficie emisora y \sigma=5.6697\times10^{-8}\,\mathrm{W/m^2K^4} es la constante de Stefan-Boltzmann.

En nuestro caso la superficie emisora es la del Sol. A partir de su radio podemos calcularla


A=4\pi R^2 = 6.09\times10^{18}\,\mathrm{m^2}

Con los dos datos del problema podemos calcular la potencia radiada por el Sol


P = 4\pi R^2\sigma e T^4=3.77\times10^{26}\,\mathrm{W}

Para calcular la fracción de esta potencia recibida por la Tierra, consideramos la esfera con centro en el Sol y de radio la distancia media entre el Sol y la Tierra. La superficie de esta esfera es


S_D = 4\pi D^2=2.83\times10^{23}\,\mathrm{m^2}

La potencia total emitida por el Sol se distribuye uniformemente sobre esta superficie. La fracción de esta potencia recibida por el Sol es igual a la fracción de la superficie que la Tierra ofrece al Sol respecto a SD. Esta fracción es


\displaystyle \lambda=\frac{\pi R_T^2}{S_D}=4.55\times10^{-10}

No aparece el factor 4 porque el Sol ve a la Tierra esencialmente como un disco plano de radio RT. Así, pues la potencia recibida por la superficie de la Tierra es


P_T =\lambda P = 1.72\times10^{17}\,\mathrm{W}

Podemos comparar esta potencia con el consumo energético medio mundial. En el año 2008 este consumo fue CEM\simeq 5\times10^{20}\,\mathrm{J}, que corresponde a una potencia media de consumo 
PM=1.5\times10^{13}\,\mathrm{W}
. Por tanto, la potencia que recibe la Tierra es


P_T\simeq10^4PM

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