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Posición aparente de un avión supersónico

De Laplace

1 Enunciado

Un avión supersónico vuela a Mach 1.8 a 3 km de altura. Determine el tiempo entre que pasa por la vertical de un observador situado en el suelo y que a éste le llegue el frente de la onda de choque. Cuando llega este sonido, ¿dónde parece que se encuentra el avión, a juzgar por el ruido? ¿A qué distancia de su posición real en ese instante?

2 Solución

Un avión que viaja a velocidad supersónica emite una onda de choque en todo instante, no sólo cuando rompe la barrera del sonido. La onda de choque se propaga con una ángulo θ respecto a la dirección de movimiento del avión (las líneas rojas en la figura). Éste es el ángulo de Mach. El número de Mach se define como


M=\frac{1}{\mathrm{sen}\,\theta}

La figura adjunta muestra la posición del avión cuando emitió la onda de choque que percibe el observador (A), cuando está en la vertical del observador (B) y cuando la onda de choque llega a la posición del observador (C). La línea azul, que indica el camino seguido por la onda de choque detectada por el observador, es perpendicular a la onda de choque. En la figura se indica también las otras apariciones del ángulo θ. A partir de la definición del número de Mach tenemos


\begin{array}{lcccr}
\displaystyle\mathrm{sen}\,\theta=\frac{1}{M},&&
\displaystyle\cos\theta=\frac{\sqrt{M^2-1}}{M},&&
\displaystyle\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{M^2-1}}
\end{array}

Como tenemos el dato de la altura a la que viaja el avión, h=3\,\mathrm{km}, y el número de Mach, M = 1.8, podemos determinar las distancias x1 y x2 en el dibujo.


\begin{array}{l}
\displaystyle x_1 = h\,\tan\theta=\frac{h}{\sqrt{M^2-1}}=2.00\,\mathrm{km}\\ \\
\displaystyle x_2 = \frac{h}{\tan\theta}=h\sqrt{M^2-1}=4.49\,\mathrm{km}
\end{array}

Entre el instante en el que el el avión pasa por la vertical del observador y éste recibe la onda de choque emitida por el avión en el punto A, el avión ha recorrido la distancia x2. La velocidad del avión es


v_F=M\,c=617\,\mathrm{m/s}=2.22\times10^3\,\mathrm{km/h}

Por tanto, el tiempo que tarda el avión en recorrer la distancia x2 es


t_2=\frac{x_2}{v_f}=\frac{x_2}{M\,c}=\frac{h\sqrt{M^2-1}}{c\,M}=7.28\,\mathrm{s}

Cuando el observador recibe la onda de choque el avión está en el punto C. Por tanto, la distancia entre el observador y el avión es


d=\frac{h}{\mathrm{sen}\theta}=M\,h=5.4\,\mathrm{km}

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