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Permitividad de un gas noble

De Laplace

1 Enunciado

El estudio de las propiedades dieléctricas de los gases puede servir para medir el tamaño de los átomos.

Para ello, suponga que se modela un átomo de número atómico Z como compuesto de una carga puntual Ze (el núcleo) y una nube esférica uniforme, con volumen τ (los electrones). Si a un átomo de este tipo se le aplica un campo externo uniforme \mathbf{E}_0, ¿cuánto vale el momento dipolar inducido en el átomo por la separación de los centros de carga?

Para un gas monoatómico (un gas noble) con una densidad de N átomos por unidad de volumen, ¿cuánto valdrá la susceptibilidad y la permitividad?

Experimentalmente se comprueba que el helio en condiciones normales tiene una permitividad relativa \varepsilon_r=1.000065, mientras que para el neón \varepsilon_r=1.000123, y para el argón \varepsilon_r=1.0051659. Según esto, ¿cuál es el tamaño de un átomo de cada uno de estos gases nobles?

2 Solución

Cuando no hay campo aplicado, el núcleo se encuentra en equilibrio en el centro del átomo. Este equilibrio es estable, ya que si el núcleo se desplaza ligeramente desde la posición central, sufre una fuerza debida a la carga de la nube electrónica, que tiende a devolverlo hacia el centro. Esta fuerza es radial y vale

\mathbf{F}_i=Ze\mathbf{E}_i=Ze\left(\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0 r\right)\mathbf{u}_{r}= -\frac{(Ze)^2}{3\varepsilon_0\tau}\mathbf{r}

siendo τ el volumen del átomo y ρ0 = − Ze / τ la densidad de carga de la nube electrónica.

Cuando se aplica un campo externo, la fuerza sobre la carga positiva mueve al núcleo en la dirección del campo, mientras que la nube es empujada en el sentido opuesto. Los centros de carga se ven separados, deteniéndose el distanciamiento cuando se anula la fuerza total actuante sobre el núcleo (o, equivalentemente, sobre la nube electrónica) es nulo.

\mathbf{0}= \mathbf{F}_\mathrm{e}+\mathbf{F}_i=Ze\mathbf{E}_0-\frac{(Ze)^2}{3\varepsilon_0\tau}\Delta\mathbf{r}

lo que da, para la separación

\Delta\mathbf{r}=\frac{3\varepsilon_0\tau\mathbf{E}_0}{Ze}

y, para el momento dipolar, tomado como el producto de la carga positiva por la separación entre los centros de carga,

\mathbf{p}=Ze\Delta\mathbf{r}=3\varepsilon_0\tau \mathbf{E}_0

Obtenemos que la polarizabilidad (constante de proporcionalidad entre \mathbf{p} y \mathbf{E}) de cada átomo vale \alpha=3\varepsilon_0\tau.

Si tenemos N átomos por unidad de volumen, resulta una polarización

\mathbf{P}=N\mathbf{p}=3\varepsilon_0\tau N\mathbf{E}_0

Según esto, la susceptibilidad y la permitividad valen

\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi\mathbf{E}_0   \Rightarrow   \chi=3N\tau \qquad \varepsilon=\varepsilon_0(1+3N\tau)

Un razonamiento más detallado debe tener en cuenta el campo producido por los propios dipolos (como en el caso de una esfera dieléctrica en un campo externo). Sin embargo, si el gas es poco denso este modelo es bastante aproximado.

Una vez establecida la relación entre la permitividad y el volumen atómico, puede usarse a la inversa. Si se mide \varepsilon experimentalmente, puede emplearse para determinar τ

\tau = \frac{\varepsilon_r{}-1}{3N}

Para un gas en condiciones normales, un mol (6.023\times 10^{23} átomos) ocupa 22.4 litros, lo que nos da una densidad de partículas

N = \frac{6.023\times 10^{23}\mbox{atomos/mol}}{0.0224\,\mathrm{m}^3/\mathrm{mol}}= 2.69\times 10^{25} \,\frac{\mbox{atomos}}{\mathrm{m}^{3}}

Aplicando esta fórmula al helio, neón y argón obtenemos el volumen atómico y el radio, supuesta una nube esférica. Este radio puede compararse con los valores obtenidos por otros métodos experimentales

Gas τ (10−30m³) R (10−10m) Rexp (10−10m)
Helio 0.81 0.58 0.31
Neón 1.53 0.71 0.71
Argón 64.0 2.48 0.98

Comparando los valores del radio calculados a partir de la permitividad con las medidas por otros métodos muestran un acuerdo apreciable (especialmente bueno para el neón), indicando que este modelo atómico es bastante acertado. Un refinamiento consiste en suponer no una nube esférica uniforme, sino una en la que la densidad decaiga con la distancia según indican los orbitales atómicos.

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