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Paso de calor entre dos cámaras rígidas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un recipiente adiabático de 2 m³ está dividido en dos cámaras cúbicas del mismo tamaño, separadas por una pared inmóvil rellena de un aislante térmico. Las dos cámaras están llenas de aire seco. La de la izquierda contiene aire a 102 kPa y 600 K. El aire de la derecha está también a 102 kPa, pero a 300 K. Sin quitar la pared central se retira el aislante térmico que contiene, permitiendo que las dos cámaras entren en contacto térmico entre sí (no con el exterior)

  1. Determine la temperatura final de equilibrio y la cantidad de calor que pasa de una cámara a la otra.
  2. Halle la fuerza sobre la pared central una vez que se ha alcanzado el equilibrio térmico.

Datos Constante universal de los gases ideales: R=8.314\,\mathrm{J}/\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}; cociente entre capacidades caloríficas para el aire γ = 1.4.

Archivo:dos-camaras-rigidas.png

2 Temperatura final

Al ser el recipiente adiabático, todo el calor que sale de una de las cámaras entra en la otra

Q_\mathrm{1out}=Q_\mathrm{2in}\,

y, por ser los dos procesos a volumen constante y tratarse del mismo gas en ambas cámaras

n_1c_v(T_1-T_f)=n_2c_v(T_f-T_2)\qquad \Rightarrow\qquad T_f=\frac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}

Calculamos el número de moles de cada gas

n_1 = \frac{pV}{RT_1}= 20.45\,\mathrm{mol}\qquad\qquad n_2 = \frac{pV}{RT_2}= 40.89\,\mathrm{mol}=2n_1

y por tanto, la temperatura final es

T_f = \frac{20.45\times 600+40.89\times 300}{20.45+40.89}=400\,\mathrm{K}

3 Calor transferido

La cantidad de calor que pasa de una cámara a la otra es

Q_\mathrm{2in}=n_2c_v(T_f-T_2)\,

La capacidad calorífica molar a volumen constante es, para el aire seco

c_v = \frac{R}{\gamma-1}=\frac{8.314}{0.4}\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}} = 20.79\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}

y por tanto el calor

Q_\mathrm{2in}=20.45\times 20.79(400-300)\,\mathrm{J}=85\,\mathrm{kJ}

4 Fuerza sobre la pared

La fuerza se debe a la diferencia de presiones entre las dos cámaras. La presión final de cada una cumple, por ser el volumen constante,

\frac{p_{nf}}{T_f}=\frac{p}{T_n}\qquad\Rightarrow\qquad p_{nf}=\frac{T_f}{T_n}p\qquad n = 1,2

Esto nos da

p_{1f}=\frac{400}{600}102\,\mathrm{kPa}=68\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad p_{2f}=\frac{400}{300}102\,\mathrm{kPa}=136\,\mathrm{kPa}

Puesto que conocemos la diferencia de presiones y el área de la pared (1m² por ser un cubo de 1m³ de volumen), la fuerza es inmediata

\vec{F}=(p_{1f}-p_{2f})S\vec{\imath}=-68\,\mathrm{kN}\vec{\imath}

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