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Partícula en un tubo con muelle

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un tubo delgado, hueco y de masa despreciable, está situado en el plano horizontal OXY pudiendo rotar libremente y sin rozamiento alrededor del eje fijo (eje OZ) que pasa por su punto medio (punto O). En el interior del tubo se halla una partícula P, de masa m, que es atraída hacia el punto O con una fuerza directamente proporcional a la distancia entre P y O (con constante de proporcionalidad k) Suponiendo que todos los contactos son lisos, y utilizando las coordenadas polares ρ y θ, así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, se pide:

  1. Escribir las ecuaciones dinámicas de la partíıcula (Segunda Ley de Newton proyectada en las direcciones radial y acimutal) en el sistema inercial OXY y en el sistema no inercial solidario con el tubo.
  2. Se hace rotar el tubo con velocidad angular constante ω0. Determina qué inecuación debe verificar ω0 respecto a m y k para que el movimiento de la partícula respecto al tubo pueda ser armónico simple.

2 Ecuaciones de movimiento

2.1 En el sistema móvil

En un sistema que gira con la barra, la partícula realiza un movimiento unidimensional, sometida a la acción del muelle y a las fuerzas de inercia. En forma vectorial tenemos, si la barra es el sólido “0” y la partícula es el sólido 2

m\vec{a}^P_{20} = -k\vec{r}-m\vec{a}^O_{01}-m\vec{\alpha}_{01}\times\vec{r}-m(\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}))-2m\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}+\vec{N}

Veamos cada término de esta ecuación, proyectando sobre los ejes X0Y0Z0

Masa por aceleración
La fuerza que mide el observador móvil es, teniendo en cuenta que la partícula se mueve a lo largo de la barra:
m\vec{a}^P_{20}=m\ddot{\rho}\vec{\imath}_0
Fuerza elástica
Esta es la fuerza recuperadora que el resorte ejerce sobre la partícula. Si la distancia al centro es ρ, esta fuerza vale
\vec{F}=-k\vec{r}=-k\rho\vec{\imath}_0
Fuerza de arrastre
Está asociada a la aceleración del origen del sistema de coordenadas, que en este caso está en reposo,
-m\vec{a}^O_{01}=\vec{0}\,
Término de aceleración angular
la aceleración angular del sistema de referencia es
\vec{\alpha}_{01}=\ddot{\theta}\vec{k}
por lo que la fuerza de inercia debida a esta aceleración es
-m\vec{a}^O_{01}\times\vec{r}=-m\left(\ddot{\theta}\vec{k}\right)\times(\rho \vec{\imath}_0)=m\rho\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0
Fuerza centrífuga
La velocidad angular del sistema de referencia es
\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\vec{k}
así que la fuerza centrífuga sobre la partícula es
-m(\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}))=-m\left(\dot{\theta}\vec{k}\times(\dot{\theta}\vec{k}\times\rho\vec{\imath}_0)\right)=m\rho\dot{\theta}^2\vec{\imath}_0
Fuerza de Coriolis
La partícula se mueve a lo largo de la barra, por lo que su velocidad en el sistema móvil es
\vec{v}^P_{20}=\dot{\rho}\vec{\imath}_0
y la fuerza de Coriolis sobre la partícula es
-2m\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}=-2m(\dot{\theta}\vec{k})\times(\dot{\rho}\vec{\imath}_0)=-2m\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{\jmath}_0
Reacción vincular
Por último, la barra ejerce una reacción vincular que irá en la dirección perpendicular a la propia barra
\vec{N}=N\vec{\jmath}_0

Uniendo todo esto queda

m\ddot{\rho}\vec{\imath}_0=(m\dot{\theta}^2-k\rho)\vec{\imath}_0+(-m\rho\ddot{\theta}-2m\dot{\rho}\dot{\theta}+N)\vec{\jmath}_0

o, separando componente a componente

Ecuación radial
m\ddot{\rho}=m\dot{\theta}^2-k\rho
Ecuación acimutal
0 = -m\rho\ddot{\theta}-2m\dot{\rho}\dot{\theta}+N

En estas ecuaciones, si el movimiento de la barra es conocido (por ejemplo, es una rotación uniforme, como en el siguiente apartado), la primera de las dos ecuaciones puede emplearse para hallar ρ = ρ(t) y, una vez que se conoce, sustituir en la segunda ecuación para calcular la reacción vincular.

2.2 En el sistema fijo

La segunda ley de Newton nos dice que

m\vec{a}=\vec{F}\,

siendo \vec{F} la resultante de las fuerzas sobre la partícula. En este caso actúan dos fuerzas sobre la partícula: la fuerza recuperadora del resorte, que es radial, y la rección vincular, que es perpendicular a la barra y por tanto acimutal.

\vec{F}=-k\rho\vec{u}_\rho+N\vec{u}_\theta

Escribiendo la aceleración en coordenadas polares

\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{u}_\theta

nos queda

m\left((\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{u}_\theta\right)=-k\rho\vec{u}_\rho+N\vec{u}_\theta

Separando componente a componente:

Ecuación radial
m\ddot{\rho}-m\dot{\theta}^2=-k\rho
Ecuación acimutal
m\rho\ddot{\theta}+2m\dot{\rho}\dot{\theta}=N

que son equivalentes a las anteriores.

3 Movimiento armónico simple

Si la barra describe un movimiento de rotación uniforme, entonces

\dot{\theta}=\omega_0\qquad\qquad\ddot{\theta}=0

lo que deja las ecuaciones como

Ecuación radial
m\ddot{\rho}=-(k-m\omega_0^2)\rho
Ecuación acimutal
2m\omega_0\dot{\rho}=N

Para que la partícula describa un movimiento armónico simple la ecuación radial debe ser la de un oscilador armónico, esto es, que haya una fuerza recuperadora, radial y hacia adentro, por lo que la condición sobre la frecuencia es que

k - m \omega_0^2 > 0\,   \Rightarrow   \omega_0 < \sqrt{\frac{k}{m}}

esto es, la velocidad angular debe ser menor que la frecuencia angular propia del oscilador. Para velocidad angular nula o pequeña, el resorte sigue oscilando, pero cada vez con una menor constante. Para una velocidad angular mayor que la frecuencia propia, la fuerza centrífuga domina sobre la fuerza recuperadora y la partícula sale despedida hacia afuera.

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