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Péndulo formado por barra y disco (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un péndulo compuesto, formado por una barra homogénea, de longitud b=1.20\,\mathrm{m} y masa m_1=1.5\,\mathrm{kg} en cuyo extremo A se encuentra ensartado un disco de masa m_2=3.0\,\mathrm{kg} y radio R=0.80\,\mathrm{m}. La barra está articulada en su otro extremo O a un punto fijo. Esta articulación permite el movimiento solo en el plano vertical coplanario a la varillo y al disco. Inicialmente el péndulo está sujeto en reposo y con su varilla horizontal

  1. Determine la posición del CM del péndulo, para la posición inicial, empleando los ejes indicados.
  2. Calcule el momento de inercia del péndulo respecto al eje OX, al OY y al OZ.
  3. Suponga que, estando el péndulo en la posición horizontal en reposo, se suelta. Para el instante en que pasa por la vertical…
    1. ¿Cuánto vale la velocidad angular del péndulo?
    2. ¿Qué fuerza ejerce el soporte del disco en A?
    3. ¿Qué fuerza ejerce el soporte del péndulo en O?
  4. Si el disco, en lugar de ser coplanario al plano de movimiento, fuera perpendicular a él (es decir, que en la figura lo veríamos de perfil, como una línea, prolongación de la varilla), al pasar por la vertical el péndulo su velocidad angular ¿sería mayor, menor, o igual a la del apartado anterior? ¿Por qué?

Tómese g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2

2 Centro de masas

\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG}_1+m_1\overrightarrow{OG}_2}{m_1+m_2}=\frac{1.5(0.60\vec{\imath})+3(1.2\vec{\imath})}{1.5+3.0}\mathrm{m}=1.0\,\vec{\imath}\,\mathrm{m}

Hacemos

d_G=|\overrightarrow{OG}|=1.00\,\mathrm{m}

3 Momentos de inercia

3.1 Respecto a OZ

Aplicando el teorema de Steiner a los dos sólidos:

I_{zz}=I_{1zz}+I_{2zz}=\left(\frac{1}{12}m_1b^2+m_1\left(\frac{b}{2}\right)^2\right)+\left(\frac{1}{2}m_2R^2+m_2b^2\right)=6.00\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2

3.2 Respecto a OX

Aplicando el teorema de la figura plana:

I_{xx}=I_{1xx}+I_{2xx}=0+\frac{1}{4}m_2R^2=0.48\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2

3.3 Respecto a OY

Aplicando el teorema de Steiner y el de la figura plana:
I_{yy}=I_{1yy}+I_{2yy}=\left(\frac{1}{12}m_1b^2+m_1\left(\frac{b}{2}\right)^2\right)+\left(\frac{1}{4}m_2R^2+m_2b^2\right)=5.52\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2

Se cumple que

Ixx + Iyy = Izz

4 Paso por la vertical

4.1 Velocidad angular

Por conservación de la energía mecánica

\frac{1}{2}I_{zz}|\vec{\omega}|^2+m g \overbrace{h_G}^{=-d_G} =0\qquad\Rightarrow\qquad |\omega|=\sqrt{\frac{2mgd_G}{I_{zz}}}=\sqrt{\frac{2\times 4.5\times 10\times 1}{6}}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=\sqrt{15}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=3.87\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

Vectorialmente

\vec{\omega}=-3.87\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\vec{k}

4.2 Fuerza en A

\vec{F}_A=-m_2\vec{g}+m_2\frac{|\vec{v}_{G2}|^2}{b}\vec{k}=m_2(g+|\vec{\omega}^2|b)\vec{k}=+84\,\mathrm{N}\,\vec{k}

4.3 Fuerza en O

\vec{F}_O=-m\vec{g}+m\frac{|\vec{v}_{G}|^2}{d_G}\vec{k}=m(g+|\vec{\omega}^2|d_G)\vec{k}=+112.5\,\mathrm{N}\,\vec{k}

5 Disco de perfil

El cálculo sería igual pero con Iyy en lugar de Izz. Como Iyy < Izz resulta una velocidad angular mayor al pasar por la vertical y por tanto también mayores fuerzas en A y en O. Concretamente

|\vec{\omega}|=4.04 \,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad  |\vec{F}_A|=88.7\,\mathrm{N}\qquad\qquad |\vec{F}_O|=118.4\,\mathrm{N}

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