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Péndulo cónico Primera Prueba de Control (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene una masa puntual m que cuelga de un hilo inextensible sin masa y de longitud l. La masa gira de modo que describe un movimiento circular con velocidad angular \vec{\omega} = \omega_0\,\vec{k} constante.

  1. ¿Cuál es la velocidad de la masa en el instante indicado en la figura?
  2. Encuentra la expresión que da el ángulo que forma el hilo con la vertical.

2 Solución

2.1 Velocidad de la masa

La masa describe un movimiento circular, con una velocidad angular \vec{\omega}=\omega_0\,\vec{k} , En el instante de la figura el vector de posición de la masa respecto del punto O es


\vec{r}=l\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{i} - l\,\cos{\alpha}\,\vec{k}

La velocidad de la masa es


\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} = \omega_0\,l\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}

3 Ángulo del hilo con la vertical

Aplicamos la segunda ley de Newton a la masa. Las fuerzas que actúan sobre ella son el peso y la tensión del hilo. Tenemos


m\,\vec{a} = m\,\vec{g} + \vec{\Phi}

Como la masa describe un movimiento circular uniforme, su aceleración tiene únicamente componente normal. Tenemos


\vec{a} = -a_N\,\vec{\imath} = -\dfrac{v^2}{r}\,\vec{\imath}

La distancia r=l\,\,\mathrm{sen}\,{\alpha} es el radio de la circunferencia descrita por la masa. Usando la expresión de la velocidad del apartado anterior tenemos


\vec{a} = -\dfrac{\omega_0^2\,l^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{l\,\mathrm{sen}\alpha}\,\vec{\imath} =
-w_0^2\,l\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath}

El peso es


m\,\vec{g}  = -m\,g\,\vec{\jmath}

Y la tensión del hilo


\vec{\Phi} = -\Phi\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath}
+
\Phi\,cos\alpha\,\vec{\jmath}

De la Segunda Ley de Newton obtenemos dos ecuaciones escalares


\vec{a} = m\,\vec{g}+\vec{\Phi} 
\Rightarrow
\left|
\begin{array}{l}
\omega_0^2\,l\,\mathrm{sen}\alpha=\Phi\,\mathrm{sen}\,\alpha \\ \\
m\,g = \Phi\cos\alpha
\end{array}
\right.

Dividiendo las dos ecuaciones obtenemos


\dfrac{1}{\cos\alpha} = \dfrac{\omega_0^2l}{g}

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