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Oscilaciones forzadas

De Laplace

Contenido

1 Introducción

Un oscilador armónico amortiguado es aquel que, en adición a la fuerza recuperadora dada por la ley de Hooke, experimenta una fuerza de rozamiento viscoso proporcional a la velocidad.

m\vec{v}=-k\vec{r}-\gamma\vec{v}\,

Si este oscilador se mueve a lo largo de una recta, la segunda ley de Newton se reduce a

ma = -kx - \gamma v\,

donde x es la elongación (distancia a la posición de equilibrio dada por la longitud natural).

Si este oscilador amortiguado se encuentra sometido a una fuerza externa adicional, en general dependiente del tiempo, se dice que el oscilador está forzado, siendo su ecuación de movimiento

ma = -kx - \gamma v + F(t)\,

De entre los posibles tipos de fuerza que se pueden aplicar, la más importante desde el punto de vista físico, es aquella que en sí misma es oscilante, esto es

ma = -kx - \gamma v + F_0\cos(\omega t)\,

donde la frecuencia de oscilación de la fuerza no tiene por qué coincidir con la frecuencia propia del oscilador armónico

\omega\neq \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}

2 El caso de una fuerza constante

El caso más sencillo de un oscilador forzado sería aquél sometido a una fuerza que no depende del tiempo F = F0 (ω = 0). Este sería el caso de un muelle que cuelga verticalmente u del cual se cuelga una masa m, siendo su ecuación de movimiento

m\ddot{z}+\gamma \dot{z} + k z = -mg

2.1 Solución estacionaria

La solución en este caso es fácil de imaginar. Si de una balanza colgamos 1kg de plátanos, el muelle se estira y en el estado final se queda en reposo en una posición zs inferior a la inicial. En este estado equilibrio, al ser constante, las derivadas respecto al tiempo se anulan y nos queda

z=z_\mathrm{s} \qquad \dot{z}=0\qquad \ddot{z}=0

y sustituyendo obtenemos la posición de equilibrio

m\cdot 0 + \gamma\cdot 0 + k z_s = -mg\qquad\Rightarrow\qquad z_s = -\frac{mg}{k}

Esta estado estacionario es independiente de las condiciones iniciales. Ni la posición inicial ni la velocidad inicial aparecen en su expresión.

2.2 Solución transitoria

En el ejemplo de los plátanos que se cuelgan de la balanza, la experiencia nos muestra que la posición final no se alcanza instantáneamente, sino que la balanza oscila unas cuantas veces antes de detenerse. Se dice entonces que tenemos un proceso transitorio que representa el paso desde el estado inicial hasta el final.

Para describir matemáticamente el estado transitorio introducimos como variable la diferencia entre la posición instantánea y la de equilibrio

s = z - z_s\qquad\Rightarrow\qquad z = s + z_s

Teniendo en cuenta que la solución estacionaria es una de equilibrio

\dot{z}=\dot{s}+\dot{z}_s = \dot{s}\qquad\qquad \ddot{z}=\ddot{s}+\ddot{z}_s = \ddot{s}

y sustituyendo en la ecuación del oscilador forzado queda

m\ddot{s}+\gamma\dot{s}+k s +k z_s = -mg

pero kzs = − mg así que esto se reduce a

m\ddot{s}+\gamma\dot{s}+k s =0

que es la ecuación del oscilador armónico amortiguado. Dependiendo del grado de amortiguamiento podemos tener un caso subamortiguado, crítico o sobreamortiguado. En cualquiera de los tres casos el comportamiento general es el mismo: la solución decae exponencialmente a cero. Este estado transitorio sí depende de las condiciones iniciales, que determinan las constantes de la solución.

Según esto, la solución de un oscilador forzado se compone de dos partes:

  • Un estado transitorio inicial, que depende de las condiciones iniciales y que decae exponencialmente.
  • Un estado estacionario final, que solo depende de la fuerza aplicada y no del estado inicial.

Este mismo principio se aplica al caso de que tengamos una fuerza oscilante en lugar de una constante.

3 Solución estacionaria sinusoidal

Si escribimos la ecuación de movimiento expresando la velocidad y la aceleración como derivadas de la posición nos queda la ecuación

m\ddot{x}+b\dot{x}+kx = F_0\cos(\omega t)

Dividiendo por la masa podemos escribirla empleando los parámetros definidos al estudiar las oscilaciones amortiguadas

\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_0^2x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t)

donde

\beta = \frac{\gamma}{2m}\qquad\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

El problema general consiste en determinar la elongación como función del tiempo, x(t) para una posición y velocidad iniciales.

Antes de exponer la solución general, que se explica al final de este artículo, vamos a describir la solución particular más importante, que es la que se denomina estado estacionario sinusoidal, en la cual la elongación oscila con la misma frecuencia que la fuerza oscilante (no con su frecuencia propia, ω0):

x = A\cos(\omega t+\phi)\,

El problema, para esta solución particular consiste en determinar la amplitud de las oscilaciones, A, así como su desfase respecto a la fuerza aplicada φ.

Esta solución es importante, porque se demuestra que, cualesquiera que sean las condiciones iniciales, el sistema termina por oscilar con esta solución particular.

3.1 Posición

La forma más sencilla de determinar la solución estacionaria sinusoidal es mediante el uso de fasores. La fuerza aplicada puede escribirse, con ayuda de la fórmula de Euler, como

F(t) = F_0\cos(\omega t)=\mathrm{Re}\left(\tilde{F}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)

donde

\tilde{F}=F_0

es el fasor, o amplitud compleja, de la fuerza. Es una cantidad compleja cuyo módulo nos da la amplitud de las oscilaciones (F0 en este caso) y cuyo argumento nos da el desfase (nulo, en este caso).

En la solución estacionaria sinusoidal, la elongación admite una expresión análoga

x(t) = A\cos(\omega t+\phi)=\mathrm{Re}\left(\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)

donde ahora

\tilde{x}=A\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}\,

Este fasor contiene tanto la amplitud como la fase de la solución, por lo que si determinamos el fasor, ya hemos resuelto nuestro problema.

La ventaja de usar fasores es que transforma las derivadas en multiplicaciones. La velocidad y la aceleración pueden expresarse también en forma fasorial, siendo sus amplitudes complejas

\tilde{v}=\mathrm{j}\omega\tilde{x}        \tilde{a}=(\mathrm{j}\omega)^2\tilde{x}=-\omega^2\tilde{x}

Puesto que en la ecuación de movimiento

ma + bv + kx = F_0\cos(\omega t)\,

todas las cantidades (F, x, v y a) oscilan con la misma frecuencia, podemos escribirla como una relación entre fasores

m\tilde{a} + b\tilde{v} + k\tilde{x} = \tilde{F}

Sustituyendo los fasores de la velocidad y la aceleración nos queda

-m\omega^2\tilde{x} +\mathrm{j} b\omega\tilde{x} + k\tilde{x} = \tilde{F}

Esta es una ecuación algebraica de la cual es inmediato despejar el fasor de la elongación

\tilde{x}=\frac{\tilde{F}}{(k-m\omega^2)+\mathrm{j}\omega b}
Amplitud
La amplitud de las oscilaciones la hallamos como el módulo del fasor. A su vez, el módulo de un cociente de números complejos es el cociente de los módulos, por lo que
A = \left|\tilde{x}\right| = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)+(b\omega^2)}}
Desfase
El desfase entre las oscilaciones de la elongación y la fuerza aplicada lo da el argumento del fasor
\phi=\mathrm{arg}(\tilde{x})=-\mathrm{arctg}\left(\frac{\omega b}{k-m\omega^2}\right)

3.2 Velocidad

Obtenemos el fasor de la velocidad multiplicando el de la elongación por

\tilde{v}=\mathrm{j}\omega\tilde{x}=\frac{\mathrm{j}\omega \tilde{F}}{(k-m\omega^2)+\mathrm{j}b\omega}

Dividiendo en el numerador y el denominador

\tilde{v}=\frac{\tilde{F}}{b+\mathrm{j}(m\omega-k/\omega)}

la velocidad es también una función oscilante,

v(t) = \mathrm{Re}\left(\tilde{v}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right) = V\cos(\omega t + \varphi)=\,        \tilde{v}=V\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}
Amplitud
la amplitud de las oscilaciones de la velocidad es
V(\omega) = |\tilde{v}|=\frac{F_0}{\sqrt{b^2+(m\omega - k/\omega)^2}}
Desfase
El desfase entre las oscilaciones de la velocidad y la fuerza aplicada es
\varphi=\mathrm{arg}(\tilde{v})=\phi+\frac{\pi}{2}=\mathrm{arctg}\left(\frac{k}{b\omega}-\frac{m\omega}{b}\right)

4 Dependencia con la frecuencia

Los fasores de la posición y de la velocidad (y por tanto sus amplitudes y desfases) son funciones de la frecuencia, lo cual quiere decir que la respuesta de un oscilador a una fuerza que varía sinusoidalmente no depende solo de la magnitud de la fuerza. Una fuerza pequeña puede tener un gran efecto, si la frecuencia es adecuada, o, por el contrario, una gran fuerza aplicada puede no tener efecto apreciable. Dependiendo del sistema que se esté estudiando, puede interesar una cosa o la otra. Así, para un receptor de radio, interesa que se amplifiquen las frecuencias de las señales de la frecuencia deseada, y no las del resto, esto se consigue ajustando principalmente dos parámetros, la frecuencia propia del oscilador y su coeficiente de amortiguamiento, definidos por

\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}        \beta = \frac{b}{2m}

4.1 Amplitud

4.1.1 Elongación

La amplitud de la elongación, en términos de la frecuencia propia y del factor de amortiguamiento queda en la forma

A(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+b^2\omega^2}}=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+4\beta^2\omega^2}}
Bajas frecuencias
Cuando \omega\to 0, la amplitud de las oscilaciones tiende a
 A(\omega)\simeq \frac{F_0}{k} \qquad (\omega\ll\omega_0)
que es el comportamiento que uno obtiene para una fuerza no oscilante, como el peso, para el cual la frecuencia sería estrictamente nula.
Amplitud de la elongación en una escala logarítmnica
Altas frecuencias
Si \omega\to\infty Para frecuencias altas la amplitud tiende a cero
 A(\omega) \simeq 0 \qquad(\omega\gg\omega_0)
Esto quiere decir que si un oscilador lo excitamos mediante una fuerza cuya frecuencia sea mucho mayor que la propia del oscilador, éste prácticamente no se ve afectado.

Para valores intermedios de la frecuencia, de valor comparable a la frecuencia propia ω0, podemos tener un máximo de amplitud o no tenerlo dependiendo del grado de amortiguamiento. La amplitud es máxima cuando lo que hay dentro de la raíz del denominador es mínimo, lo cual ocurre para

\omega_\mathrm{max}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}

como se comprueba sin más que derivar el radicando e igualar a cero.

Este resultado nos dice que para que haya un máximo en la amplitud debe ser

\beta < \frac{\omega_0}{\sqrt{2}}\simeq 0.7 \omega_0

esto es, no solo debe ser subamortiguado, sino con un amotiguamiento bastante inferior al crítico.

Si se cumple esta condición, la amplitud el máximo es

A_\mathrm{max}=\frac{F_0/m}{2\beta\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}

Esta amplitud máxima diverge cuando \beta\to 0. Se dice que el sistema posee una resonancia en la amplitud.

4.1.2 Velocidad

De nuevo tenemos una función dependiente de la frecuencia.

Amplitud de la velocidad en una escala lineal
Amplitud de la velocidad en una escala logarítmica
Bajas frecuencias
Cuando \omega\to 0, el término k / ω tiende a infinito y la amplitud se va a cero. Esto quiere decir que para una fuerza que varía muy lentamente, el oscilador se mueve muy lentamente, de forma que en todo momento está casi en la posición de equilibrio calculada anteriormente.
Altas frecuencias
Cuando \omega\to \infty, es el término mω el que tiende a infinito y la amplitud se va de nuevo a cero. Esto quiere decir que para una fuerza que varía muy rápidamente, la inercia del oscilador le impide responder y este se limita a vibrar ligeramente alrededor de su posición de equilibrio x = 0.
Resonancia
En la raíz que aparece en la amplitud hay una suma de dos términos positivos. El primero no se anula nunca, pero el segundo se hace cero si
m\omega = \frac{k}{\omega}   \Rightarrow    \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \omega_0
esto es, si la frecuencia de la fuerza aplicada coincide con la frecuencia propia del oscilador, la amplitud de las oscilaciones en la velocidad es máxima. Vemos que, a diferencia de lo que ocurre con la elongación, el máximo en la amplitud de la velocidad está siempre centrado en la misma frecuencia (conocida como frecuencia de resonancia). El valor máximo de esta amplitud será
V_\mathrm{max}=V(\omega_0)=\frac{F_0}{b}
que tiende a infinito cuando el rozamiento se hace nulo.

4.2 Fase

5 Energía y potencia

5.1 Energía almacenada

Por tratarse de un oscilador armónico, el oscilador posee una energía mecánica, que será una función oscilante con el tiempo

E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2

Sustituyendo la posición instantánea

x = Acos(ωt + φ)        v = \dot{x}=-\omega A\,\mathrm{sen}\,(\omega t+\phi)

queda

E=\frac{A^2}{2}\left(m\omega^2\,\mathrm{sen}^2(\omega t+\phi)+k\cos^2(\omega t +\phi)\right)

El valor promedio en un periodo se define como

\left\langle E\right\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T E\,\mathrm{d}t

Aplicando que

\frac{1}{T}\int_0^T \mathrm{sen}^2(\omega t+\phi)\,\mathrm{d}t=\frac{1}{T}\int_0^T \cos^2(\omega t+\phi)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}

obtenemos el valor medio de la energía

\left\langle E\right\rangle(\omega) = \frac{A^2}{4}\left(m\omega^2+k\right)=\frac{F_0^2(m\omega^2+k)}{4((m\omega^2-k)^2+b^2\omega^2)}

En particular, en la frecuencia de resonancia, ω0 esta energía vale

\left\langle E\right\rangle(\omega_0)= \frac{F_0^2m}{2b^2}

5.2 Energía disipada

Al existir una fuerza de rozamiento, la energía se está transformando continuamente en calor. Puesto que la energía almacenada, en promedio, se conserva, esta energía que se pierde debe ser aportada regularmente por un agente externo, en este caso, la fuerza aplicada sobre la partícula.

La potencia con la que se disipa la energía es

P_d=P_\mathrm{nc}=\vec{F}_{nc}\cdot\vec{v}=-bv^2

Sustituyendo la velocidad como función del tiempo

P_d=-bV^2\cos^2(\omega t+\varphi)

La energía total disipada durante un periodo será

W_d=\int_0^P P_\mathrm{nc}\,\mathrm{d}t = -\frac{\pi b V^2}{\omega}

Sustituyendo el valor de la amplitud en la velocidad

W_d(\omega)=-\frac{\pi b \omega F_0^2}{(m\omega^2-k^2)^2+b^2\omega^2}

En particular, para la frecuencia de resonancia

W_d(\omega_0)=-\frac{\pi F_0^2}{b \omega_0}

5.3 Factor de calidad

Ancho de banda

El factor de calidad, Q, de un oscilador mide cómo de agudo es el pico de una resonancia. Se define, en términos de la energía como

Q=2\pi\frac{\mbox{Energia almacenada promedio}}{\mbox{Energia disipada en un periodo}}= 2\pi\frac{\left\langle E\right\rangle}{|W_d|}

donde las cantidades se evalúan en la frecuencia de resonancia ω0. Sustituyendo los valores anteriores obtenemos

Q= \frac{\sqrt{km}}{b}

Gráficamente, para resonancias muy agudas, el factor de calidad es inversamente proporcional al ancho de banda, que es la anchura del pico medida a media altura

Q\simeq \frac{\omega_0}{\Delta\omega}

6 Ejemplos de resonancia

7 =Puente de Tacoma Narrows

Colapso del puente de Tacoma

8 Circuito RLC

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