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Oscilaciones de un cuerpo parcialmente sumergido

De Laplace

1 Enunciado

Una barra cilíndrica muy larga de radio r tiene uno de sus extremos más pesado, de modo que flota en posición vertical cuando se sumerge en un líquido de densidad de masa ρ. El extremo superior sobresale de la superficie del líquido en el aire, sometido a una presión p0. Se empuja la barra hacia abajo una distancia a respecto de su posición de equilibrio. Demuestra que la barra describirá un movimiento armónico simple si se desprecia la resistencia ofrecida por el líquido, y calcula el periodo de oscilación.

2 Solución

De acuerdo con el principio de Arquímedes, la barra se ve sometida a su peso y al empuje producido por el líquido que lo rodea. Este empuje es igual al peso del agua desalojada.

Si la barra se sumerge más allá de la posición de equilibrio, el empuje supera al peso y resulta una fuerza neta hacia arriba. Si se eleva por encima de la posición de equilibrio es el peso el que supera al empuje y la fuerza neta va hacia abajo. En ambos caso se trata de una fuerza recuperadora, por lo que la barra oscilará en torno a la posición de equilibrio.

En el equilibrio, la barra está sumergida, parcialmente, hasta una profundidad h0, dada por la condición

-m g + \rho S h_0 g = 0\,   \Rightarrow    h_0=\frac{m}{\rho S}

Si no está en el equilibrio, llamemos y a la elevación sobre la posición de equilibrio. La porción de barra sumergida y la fuerza neta sobre la barra serán

h(y) = h_0 - y\,        F = -m g + \rho S(h_0-y)g\,

De acuerdo con la segunda ley de Newton

m\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}=-mg + \rho S h_0 -g\rho S y = -g\rho S y

Esta es la ecuación de un oscilador armónico con constante

k = -g\rho S\,

por lo que el periodo de las oscilaciones es

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}= 2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho S g}}=2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}}

El periodo es el mismo que el de un péndulo simple que tuviera longitud h.

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