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Nube de carga de radio variable

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se contrae y dilata, variando el radio de la esfera como R(t) = R0 + acos(ωt). La carga total de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.

A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la nube. Puede suponer que \mathbf{J} = J(r)\mathbf{u}_{r} y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?

¿Habrá campo magnético en el sistema?

2 Corriente de conducción

Tenemos que el radio de la esfera crece, por lo que el volumen está aumentando. Como la carga total permanece constante, la densidad irá disminuyendo en el tiempo. Dado que sabemos que la carga se distribuye uniformemente en la nube, tendremos que la densidad varía como

\rho(t) = \frac{Q_0}{4\pi R(t)^3/3} = \frac{3Q_0}{4\pi (R_0 + a\cos(\omega t))^3}     (r< R(t))\,

siendo nula en el exterior de la esfera.

Para hallar la densidad de corriente a partir de la ley de conservación de la carga, podemos emplear la forma diferencial o la integral de esta ley.

2.1 Forma integral

En la forma integral, consideramos una superficie esférica fija, concéntrica con la nube y contenida en ella, de radio r. Este radio no tiene nada que ver con el radio exterior R(t). Para esta superficie, la ley de conservación nos da

\oint \mathbf{J}{\cdot}d\mathbf{S} = - \frac{\mathrm{d}Q_\mathrm{int}}{\mathrm{d}t}
Por ser \mathbf{J} radial y dependiente sólo de la distancia al eje, el flujo vale simplemente
\oint \mathbf{J}{\cdot}d\mathbf{S} = 4\pi r^2 J

mientras que la carga encerrada por la superficie vale

Q_\mathrm{int} = \left(\frac{4\pi r^3}{3}\rho\right) =
\frac{r^3 Q_0}{R(t)^3}

Obsérvese que la carga interior no coincide con la total, ya que la superficie que estamos considerando no es el borde de la nube (que no sería una superficie admisible pues (a) está en movimiento y (b) posee un radio concreto y no nos da la respuesta para todo r < R).

Derivando en este resultado obtenemos la densidad de corriente

4\pi r^2 J = \frac{3v r^3 Q_0}{R(t)^4}
\quad\Rightarrow\quad \mathbf{J} = \frac{3v r Q_0}{4\pi(R(t))^4}\mathbf{u}_{r}    (r< R(t))\,

donde

v = \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t} = -a\omega \mathrm{sen}(\omega t)

Cuando la esfera, en lugar de expandirse, se contrae, v es negativo y la densidad de corriente iría hacia el interior.

En los puntos del exterior de la nube, la densidad de corriente es nula

\mathbf{J}=\mathbf{0}\,    (r > R(t))

Empleando la forma integral de la ley, podemos ver que si tomamos una superficie de radio constante r > R(t), la cantidad de carga contenida es toda la de la esfera, la cual permanece constante

Q_\mathrm{int}=Q_0\qquad(r>R(t))    0=\frac{\mathrm{d}Q_\mathrm{int}}{\mathrm{d}t}=-\int_{S_\mathrm{ext}}\!\!\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=-4\pi r^2 J   \Rightarrow   \mathbf{J}=\mathbf{0}\qquad(r>R(t)

2.2 Forma diferencial

Esta misma ecuación puede obtenerse empleando la forma diferencial, aunque es un poco más complicado. Tenemos que

\nabla{\cdot}\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0

Aplicando la expresión de la divergencia en esféricas y teniendo en cuenta que \mathbf{J} es un campo central queda

\frac{1}{r^2} \frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2 J \right) = -\frac{\partial\rho}{\partial t} =
\frac{9 v Q_0}{4\pi R(t)^4}

Despejando la derivada e integrando una vez queda

\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2 J\right) = \frac{9 v Q_0r^2}{4\pi R(t)^4}
\quad\Rightarrow\quad J = \frac{1}{r^2}\left(\frac{3 v Q_0r^3}{4\pi R(t)^4}+ C\right)

Dado que la corriente no puede ser infinita en el centro de la esfera, la constante C debe anularse y resulta finalmente la densidad de corriente

\mathbf{J} = \frac{3vQ_0 r}{4\pi R(t)^4}\mathbf{u}_{r}    (r< R(t))\,

que, por supuesto, coincide con el resultado anterior.

Para los puntos del exterior de la nube la densidad de carga es nula; su derivada temporal también lo será y por tanto se anula la densidad de corriente en el exterior.

\mathbf{J}=\mathbf{0}\qquad(r>R(t))

3 Campo eléctrico

Para hallar el campo eléctrico en el interior de la nube, simplemente aplicamos la ley de Gauss a la misma superficie esférica de radio r, ya que el campo eléctrico producido por una distribución esférica es radial y dependiente sólo de la distancia al centro. Resulta

\oint \mathbf{E} {\cdot}d\mathbf{S} = 4\pi r^2 E = \frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0} = \frac{r^3 Q_0}{R(t)^3\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{E} = \frac{r Q_0}{4\pi\varepsilon_0R(t)^3}\mathbf{u}_{r}

De nuevo, el radio de la esfera elegida no tiene nada que ver con el de la nube.

El campo eléctrico en el exterior de la esfera lo calculamos igualmente por aplicación de la ley de Gauss, resultando

4\pi r^2 E = \frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0} = \frac{Q_0}{\varepsilon_0}

ya que para una superficie exterior la carga contenida es toda la carga de la esfera. Reuniendo los dos resultados:

\mathbf{E} = \begin{cases}\displaystyle\frac{Q_0\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 R(t)^3} & r<R(t) \\ & \\\displaystyle \frac{Q_0\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} & r>R(t)\end{cases}

Nótese que, dado que v puede tener cualquier valor, no existe una relación directa entre el valor del campo eléctrico y el de la densidad de corriente en la esfera. En particular, no es aplicable la ley de Ohm.

4 Energía almacenada

Es interesante considerar qué ocurre con la energía eléctrica en este sistema. La energía almacenada es la de una esfera cargada uniformemente en volumen

U_e = \frac{3Q_0^2}{20\pi\varepsilon_0 R(t)}

Esta energía oscila en el tiempo, aunque no de forma sinusoidal. Podemos preguntarnos cómo se explican los cambios en la energía.

La diferencia se debe al trabajo realizado por el campo eléctrico, el cual desarrolla una potencia

P = \int \mathbf{J}{\cdot}\mathbf{E}\,d\tau

La densidad de corriente es no nula sólo en el interior de la esfera, por lo que esta integral vale

P = \int_{r<R(t)} \left(\frac{3vQ_0 r}{4\pi
R(t)^4}\mathbf{u}_{r}\right){\cdot}\left(\dfrac{Q_0\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0
R(t)^3}\right)\,d\tau

Integrando esta expresión en la esfera resulta

P = \frac{3Q_0^2v}{20\pi\varepsilon_0 R(t)^2}

Comparando la expresión de la energía y de la potencia vemos que se verifica

P = -\frac{\mathrm{d}U_e}{\mathrm{d}t}

esto es, que la disminución en la energía equivale a la potencia desarrollada por el campo eléctrico.

Inversamente, cuando v es negativa, esto es, cuando la esfera está contrayéndose, la energía almacenada aumenta. La potencia en este caso es negativa ya que \mathbf{J} y \mathbf{E} tienen sentidos opuestos y las cargas se mueven contra el campo, debido a la acción de algún agente externo.

5 Corriente de desplazamiento

En el primer apartado hemos visto que al expandirse la esfera, la densidad de carga de volumen disminuye (ya que la misma carga total ocupa un espacio cada vez mayor) en la forma

\rho(r,t) =\begin{cases}\displaystyle\frac{Q_0}{(4/3)\pi R(t)^3} & r<R(t)\\ & \\
 0 & r>R(t)\end{cases}

Para dar cuenta de la variación en la densidad de carga debe haber una densidad de corriente \mathbf{J}, que verifique, para una superficie arbitraria (\emph{no} la frontera de la esfera)

\oint \mathbf{J} {\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = -\frac{\mathrm{d}Q_\mathrm{int}}{\mathrm{d}t}

El resultado era una densidad de corriente

 \mathbf{J} =\begin{cases}\displaystyle\frac{3v r Q_0}{4\pi R(t)^4}\mathbf{u}_{r} & r<R(t)\\
  & \\  0 & r>R(t)\end{cases}

El campo eléctrico lo hemos obtenido por aplicación de la ley de Gauss

 \mathbf{E} =\begin{cases}\displaystyle\frac{Q_0 r}{4\pi\varepsilon_0 R(t)^3}\mathbf{u}_{r} & r<R(t)\\
  & \\  \displaystyle\frac{Q_0 }{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_{r} & r>R(t)\end{cases}

La corriente de desplazamiento en el interior de la nube valdrá

\mathbf{J}_d = \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = -\frac{3r v Q_0}{4\pi R(t)^4}\mathbf{u}_{r}

mientras que en el exterior será nula, ya que el campo eléctrico es constante fuera (en todo momento vale el de una carga Q0 situada en el origen).

6 Campo magnético

Se verifica que la corriente total (conducción más desplazamiento) se anula en cada punto del interior

\mathbf{J}+ \mathbf{J}_d = \frac{3r v Q_0}{4\pi R(t)^4}\mathbf{u}_{r}-\frac{3r v Q_0}{4\pi
R(t)^4}\mathbf{u}_{r}= 0

y también en el exterior, ya que ambas son nulas fuera de la esfera.

Puesto que la corriente total es cero, no existen fuentes de campo magnético y éste es nulo.

Esto puede entenderse también por un razonamiento de simetría. Una corriente radial \mathbf{J} = (r)\mathbf{u}_{r} no produce campo magnético, ya que éste debería ser perpendicular a la corriente en todos sus puntos y mantener la simetría esférica, lo que es imposible.

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