No Boletín - Terna formada por suma, resta y producto vectorial (Ex.Oct/19)

Enunciado

En el espacio ordinario $E_{3\,}\,$ , sean $\,{\vec {a}}\,$ y $\,{\vec {b}}\,$ dos vectores libres no nulos y no paralelos entre sí. Considere la terna de vectores $\,\{{\vec {a}}+{\vec {b}}\,$, $\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,$, $\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,\}\,$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones referidas a dicha terna es correcta?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) Constituye una base ortogonal si $|\,{\vec {a}}\,|\!=\!|\,{\vec {b}}\,|\,$.

(2) Define un paralelepípedo de volumen $|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,|^{2}\,$.

(3) No constituye necesariamente una base.

(4) Constituye una base ortonormal si $|\,{\vec {a}}\,|=|\,{\vec {b}}\,|=1\,$.

Solución

Empezaremos calculando el producto mixto de los tres vectores que constituyen la terna:

$(\,{\vec {a}}\,\times \,{\vec {b}}\,)\,\cdot \,[(\,{\vec {a}}\,+\,{\vec {b}}\,)\,\times \,(\,{\vec {a}}\,-\,{\vec {b}}\,)]=(\,{\vec {a}}\,\times \,{\vec {b}}\,)\,\cdot \,(\,\underbrace {{\vec {a}}\times {\vec {a}}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,-\,{\vec {a}}\,\times \,{\vec {b}}\,+\,{\vec {b}}\,\times \,{\vec {a}}\,-\,\underbrace {{\vec {b}}\times {\vec {b}}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,)=$

$=-2\,(\,{\vec {a}}\,\times \,{\vec {b}}\,)\,\cdot \,(\,{\vec {a}}\,\times \,{\vec {b}}\,)=-2\left|\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,\,\right|^{2}\neq 0$

donde se han utilizado varias propiedades algebraicas para operar y llegar a una expresión final más sencilla (propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, propiedad anticonmutativa del producto vectorial, etc), y donde la no nulidad de dicha expresión final se deduce del conocimiento por el enunciado de que los vectores ${\vec {a}}\,$ y ${\vec {b}}\,$ son no nulos y no paralelos entre sí (esto conlleva que su producto vectorial no puede ser nulo).

La expresión obtenida para el producto mixto nos permite descartar dos de las cuatro afirmaciones propuestas. La afirmación (3) es FALSA porque la no nulidad de su producto mixto implica que la terna de vectores propuesta constituye necesariamente una base; y la afirmación (2) también es FALSA porque es inmediato comprobar que el volumen del paralelepípedo definido por la terna de vectores (valor absoluto de su producto mixto) es justo el doble del propuesto en dicha afirmación.

A continuación, vamos a comprobar que la afirmación (1) es la CORRECTA. Para verificar que la base constituida por la terna propuesta es ortogonal si $|\,{\vec {a}}\,|\!=\!|\,{\vec {b}}\,|\,$, basta comprobar que cada vector de la terna es perpendicular a los otros dos (recuérdese que la condición de perpendicularidad entre dos vectores es que su producto escalar sea nulo):

${\begin{array}{l}(\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot (\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,)=\underbrace {(\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot {\vec {a}}} _{\displaystyle =0}\,+\,\underbrace {(\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot {\vec {b}}} _{\displaystyle =0}=0\\\\(\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot (\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,)=\underbrace {(\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot {\vec {a}}} _{\displaystyle =0}\,-\,\underbrace {(\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot {\vec {b}}} _{\displaystyle =0}=0\\\\(\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,)\cdot (\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}\,\underbrace {-\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\,+\,{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}} _{\displaystyle =0}\,-\,{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}=|\,{\vec {a}}\,|^{2}-|\,{\vec {b}}\,|^{2}=0\end{array}}$

Nótese que la condición $|\,{\vec {a}}\,|\!=\!|\,{\vec {b}}\,|\,$ sólo es necesaria para la ortogonalidad de los vectores $(\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,)\,$ y $(\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,)\,$.

Por último, vamos a comprobar que la afirmación (4) es FALSA. Una base es ortonormal si sus vectores, además de ser mutuamente ortogonales, son todos unitarios (módulos iguales a la unidad). Acabamos de verificar que, si los módulos de ${\vec {a}}\,$ y ${\vec {b}}\,$ son iguales, la base constituida por la terna propuesta es ortogonal. Por tanto, la falsedad de la afirmación (4) tiene que provenir de que los vectores de la terna propuesta no son todos unitarios en el caso $|\,{\vec {a}}\,|\!=\!|\,{\vec {b}}\,|=1\,$.

Si llamamos $\theta \,$ al ángulo formado por los vectores ${\vec {a}}\,$ y ${\vec {b}}\,$ , y suponemos que $|\,{\vec {a}}\,|=|\,{\vec {b}}\,|=1\,$, los módulos de los vectores de la terna propuesta vienen dados por:

$|\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,|=|\,{\vec {a}}\,||\,{\vec {b}}\,|\,\mathrm {sen} (\theta )=\mathrm {sen} (\theta )$

$|\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,|={\sqrt {(\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,)\cdot (\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,)}}={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}}}={\sqrt {|\,{\vec {a}}\,|^{2}+|\,{\vec {b}}\,|^{2}+2\,|\,{\vec {a}}\,||\,{\vec {b}}\,|\,\mathrm {cos} (\theta )}}=$

$={\sqrt {2+2\,\mathrm {cos} (\theta )}}=2\,\mathrm {cos} (\theta /2)$

$|\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,|={\sqrt {(\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,)\cdot (\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,)}}={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}-{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}}}={\sqrt {|\,{\vec {a}}\,|^{2}+|\,{\vec {b}}\,|^{2}-2\,|\,{\vec {a}}\,||\,{\vec {b}}\,|\,\mathrm {cos} (\theta )}}=$

$={\sqrt {2-2\,\mathrm {cos} (\theta )}}=2\,\mathrm {sen} (\theta /2)$

A la vista de las expresiones obtenidas, se comprueba que no existe ningún valor de $\theta \,$ para el cual los módulos de los tres vectores sean simultáneamente iguales a la unidad, ya que $|\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,|=1\,$ sólo si $\theta =\pi /2\,$, $|\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,|=1\,$ sólo si $\theta =2\pi /3\,$, y $|\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,|=1\,$ sólo si $\theta =\pi /3\,$.