No Boletín - Camino más corto entre dos rectas no paralelas (Ex.Oct/15)

Enunciado

Dadas dos rectas no paralelas: $\,r_{1}\,$ (que pasa por el punto $A\,$ y es paralela al vector $\,{\vec {a}}\,$) y $\,r_{2}\,$ (que pasa por el punto $B\,$ y es paralela al vector $\,{\vec {b}}\,).$ ¿Cuál de los siguientes vectores coincide con el camino más corto que lleva desde $\,r_{1}\,$ hasta $\,r_{2}\,$?

(1) $\displaystyle {\frac {[({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\times {\overrightarrow {AB}}\,]\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)}{|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,|^{2}}}\,$

(2) $\displaystyle {\frac {[\,{\overrightarrow {AB}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)]{\overrightarrow {AB}}}{|{\overrightarrow {AB}}|^{2}}}\,$

(3) $\displaystyle {\frac {[({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot {\overrightarrow {AB}}\,]({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)}{|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,|^{2}}}\,$

(4) $\displaystyle {\frac {[({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot {\overrightarrow {AB}}\,]({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)}{|{\overrightarrow {AB}}|^{2}}}\,$

Solución

El camino más corto entre las rectas no paralelas $\,r_{1}\,$ y $\,r_{2}\,$ se halla a lo largo de la perpendicular común a ambas rectas (vector ${\overrightarrow {PQ}}\,$ de la figura adjunta). Así pues, lo primero que hacemos es generar el vector ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\,$, cuya dirección coincide con la dirección de la perpendicular común a ambas rectas. A continuación, utilizando una fórmula deducida en la teoría, descomponemos el vector ${\overrightarrow {AB}}\,$ (que va desde $\,r_{1}\,$ hasta $\,r_{2}\,$) en la suma de un vector perpendicular a ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\,$ (vector ${\overrightarrow {AC}}\,$) y un vector paralelo a ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\,$ (vector ${\overrightarrow {CB}}\,$):

${\overrightarrow {AB}}=\underbrace {\displaystyle {\frac {[({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\times {\overrightarrow {AB}}\,]\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)}{|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,|^{2}}}} _{\overrightarrow {AC}}\,+\,\underbrace {\displaystyle {\frac {[({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot {\overrightarrow {AB}}\,]({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)}{|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,|^{2}}}} _{\overrightarrow {CB}}$

Resulta obvio que el vector ${\overrightarrow {PQ}}\,$ buscado coincide precisamente con el vector paralelo a ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\,$ de la citada descomposición, es decir:

${\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {CB}}=\displaystyle {\frac {[({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot {\overrightarrow {AB}}\,]({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)}{|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,|^{2}}}$

Así que la solución correcta es la (3).