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Movimiento plano de una partícula (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Introducción

En mecánica, el movimiento plano de un sistema de partículas es aquél en que las velocidades de las diferentes partículas están en todo momento contenidas en planos paralelos (denominnados planos directores) constantes para cada partícula.

2 Posición, velocidad y aceleración

La estructura del movimiento plano nos permite elegir un sistema de ejes en el que el eje OZ es el perpendicular a estos planos, de forma que la posición de cada partícula puede ponerse en la forma

\vec{r}(t)=x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}+z_0\vec{k}

siendo z0 una constante para cada partícula (no necesariamente la misma para todas pues pueden moverse en planos paralelos).

Si nos centramos en una sola partícula, su trayectoria es una curva plana que puede ser representada gráficamente de forma más simple.

En este sistema de referencia la velocidad posee solo dos componentes

\vec{v}=\dot{x}\vec{\imath}+\dot{y}\vec{\jmath}

y lo mismo ocurre con la aceleración

\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}

Gráficamente, ambos vectores están contenidos en el plano de la trayectoria, siendo la velocidad tangente a ella y la aceleración formando un cierto ángulo pero siempre apuntando hacia el interior de la curva.

3 Coordenadas polares

En el caso de movimiento en un plano, es útil considerar las coordenadas polares para describir el movimiento de la partícula, {ρ,θ}. Estas coordenadas son la distancia al origen del sistema de referencia (ρ) y el ángulo que forma el vector de posición con el eje OX (θ).

x = \rho\cos(\theta) \qquad y =
\rho\,\mathrm{sen}(\theta)

y sus inversas

\rho = \sqrt{x^2+y^2}\qquad
\theta=\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)

Las coordenadas polares llevan asociadas una base vectorial \{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}, que apuntan respectivamente en la dirección radial (en la que varía ρ) y acimutal (en la que varía θ). Esta base se relaciona con la canónica por el cambio de base

\begin{array}{rcl}
\vec{u}_\rho & = & \cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath} \\
\vec{u}_\theta & = & -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}
\end{array}    ó    \begin{pmatrix}\vec{u}_\rho \\\vec{u}_\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\theta) & \mathrm{sen}(\theta)\\ -\mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\vec{\imath} \\\vec{\jmath}\end{pmatrix}

y su inverso

\begin{array}{rcl}
\vec{\imath} & = & \cos(\theta)\vec{u}_\rho-\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\theta \\
\vec{\jmath} & = & \mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho+\cos(\theta)\vec{u}_\theta
\end{array}    ó    \begin{pmatrix}\vec{\imath} \\\vec{\jmath}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\mathrm{sen}(\theta)\\ \mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\vec{u}_\rho \\\vec{u}_\theta\end{pmatrix}


        

Los vectores unitarios en polares dependen de la posición. Aunque tengan el mismo nombre, el vector \vec{u}_\rho en un punto es diferente del vector \vec{u}_\rho en otro. Por ello, hay que tener un cuidado infinito a la hora de operar con vectores en coordenadas polares.

Archivo:vectores-polares.gif

En particular, cuando consideramos el movimiento de una partícula, su posición, y por tanto los vectores de la base en polares, son funciones del tiempo. Por ello, cuando aparezca una derivada o una integral, habrá que tenerlos en cuenta. Sus derivadas respecto del tiempo valen

\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t}=-\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}\,+\,\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}=\dot{\theta}\vec{u}_\theta\qquad
\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\theta}{\mathrm{d}t}=-\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\imath}\,-\,\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}=-\dot{\theta}\vec{u}_\rho

3.1 Posición en polares

Puesto que el vector \vec{u}_\rho es el unitario en la dirección del vector de posición en el plano tenemos que la expresión de este en polares es

\vec{u}_\rho = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \qquad\Rightarrow\qquad \vec{r}=|\vec{r}|\vec{u}_\rho = \rho\vec{u}_\rho

3.2 Velocidad en polares

la velocidad la calculamos derivando esta expresión respecto al tiempo, donde debemos recordar que también hay que derivar el vector unitario. Aplicamos la derivada de un producto

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\vec{u}_\rho + \rho\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t} = \dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta

Esta expresión nos dice que la velocidad se compone de dos partes, una radial, debida a que la partícula se acerca o aleja del origen de coordenadas, y una acimutal, asociada al giro en torno a éste.

Por ejemplo, si consideramos una partícula describiendo un movimiento circular alrededor del origen,

\rho = A = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \dot{\rho}=0\qquad\qquad \dot{\theta}=\omega

y resulta la velocidad

\vec{v} = \overbrace{\dot{\rho}}^{0}\vec{u}_\rho + \overbrace{\rho}^{A}\overbrace{\dot{\theta}}^{\omega}\vec{u}_\theta = \omega A\vec{u}_\theta

En un movimiento circular alrededor del origen la velocidad es puramente acimutal, ya que la partícula solo gira en torno al origen.

Archivo:circular-polares.gif

Sin embargo, el que la velocidad acimutal sea distinta de cero (que visto desde el origen se vea girar), no implica que el movimiento sea circular, ni siquiera curvo.

Consideremos el caso de una partícula que sigue un movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo de una recta paralela al origen de forma que

x = L\qquad y = v_0 t

La expresión de este movimiento en polares es

\rho = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{L^2+v_0^2t^2}\qquad\qquad\theta=\,\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\,\mathrm{arctg}\left(\frac{v_0t}{L}\right)

Las derivadas respecto al tiempo de estas dos magnitudes valen

\dot{\rho}=\frac{v_0^2 t}{\sqrt{L^2+v_0^2 t^2}}\qquad \dot{\theta} = \frac{v_0L t}{L^2+v_0^2t^2}

y esto nos da la velocidad instantánea

\vec{v}=\frac{v_0^2 t\vec{u}_\rho+v_0Lt\vec{u}_\theta}{\sqrt{L^2+v_0^2t^2}}

vemos que aunque el movimiento sea rectilíneo y uniforme, resulta una velocidad radial y una acimutal no nula. Para interpretarlo nos imaginamos a un observador situado en el origen de coordenadas, que apunte en todo momento a la partícula. Este observador ve a la partícula acercarse y alejarse (pasando por un mínimo justo cuando está en la perpendicular a la recta), y también ve cambiar la dirección de observación, lo que equivale a un giro.

Archivo:rectilineo-polares.gif

3.3 Aceleración en polares

Operando igualmente obtenemos la expresión de la aceleración en polares, solo que esta vez debemos derivar más términos y también el vector \vec{u}_\theta

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\ddot{\rho}\vec{u}_\rho + \dot{\rho}\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t} +\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{u}_\theta+\rho\ddot{\theta}\vec{u}_\theta+\rho\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\theta}{\mathrm{d}t}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}

En el caso del movimiento circular tenemos que, para la coordenada radial

\rho = A\qquad\dot{\rho}=0\qquad \ddot{\rho}=0

y para la acimutal

\dot{\theta}=\omega\qquad\ddot{\theta}=\alpha

lo que nos da la aceleración lineal

\vec{a}=-A\omega^2\vec{u}_\rho+A\alpha\vec{u}_\theta

En general tendrá tanto componente radial (que en este caso coincide con la aceleración normal) como componente acimutal (que en este caso coincide con la tangencial).

En el caso del movimiento rectilíneo y uniforme, tras una serie de cálculos bastante laboriosos se llega a que

\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2=0\qquad\qquad \rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta}=0

y por tanto

\vec{a}=0\vec{u}_\rho+0\vec{u}_\theta = \vec{0}

como corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme.

3.4 Resumen de expresiones

Los vectores de posición, velocidad y aceleración en este sistema quedan, por tanto,


\begin{array}{rcl}
\vec{r} & = & \rho\,\vec{u}_{\rho}\\
\vec{v} & = & \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\\
\vec{a} & = &(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}
\end{array}

En coordenadas polares, la rapidez es igual a

|\vec{v}| =
\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}

4 Movimiento circular

Puesto que los sistemas de referencia son arbitrarios, una vez que sabemos que un movimiento es circular, podemos tomar el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia y los ejes de forma que la trayectoria esté contenida en el plano XY y con el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia. En coordenadas polares, una circunferencia centrada en el origen se escribe simplemente

\rho = R\,

La ecuación vectorial de la trayectoria se reduce a

\vec{r}=R\vec{u}_\rho = R\cos(\varphi)\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}\,(\varphi)\vec{\jmath}

siendo la ley horaria

\varphi = \varphi(t)\,

La velocidad de un movimiento circular es puramente acimutal,

\vec{v}=R\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi = R\dot{\varphi}\left(-\,\mathrm{sen}\,(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath}\right)

siendo la rapidez y el vector tangente

|\vec{v}| = R|\dot{\varphi}|        \vec{T}=\pm \vec{u}_\varphi

El signo variable depende del sentido de recorrido sobre la circunferencia. Por ejemplo, el movimiento de la lenteja de un péndulo es circular (aunque no complete una circunferencia) pero en su vaivén, el vector tangente unas veces coincide con el unitario en la dirección acimutal y otras es el opuesto.

La distancia medida sobre la curva

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}= R\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}   \Rightarrow    s = s_0+R\varphi\,

La velocidad angular va en la dirección normal al plano y es tal que al multiplicarla vectorialmente por \vec{r} resulta la velocidad. Esto da

\vec{\omega}=\dot{\varphi}\vec{k}

La aceleración de la partícula es

\vec{a}=-R\dot{\varphi}^2\vec{u}_\rho + R\ddot{\varphi}\vec{u}_\varphi

con componentes intrínsecas

\vec{a}_t = R\ddot{\varphi}\vec{T}        \vec{a}_n=R\dot{\varphi}^2\vec{N}

con el vector normal

\vec{N}=-\vec{u}_\rho=-\frac{\vec{r}}{R}

Por último, la aceleración angular viene dada por

\vec{\alpha}=\ddot{\varphi}\vec{k}

Con estos ejes, un movimiento circular uniforme corresponde a

\varphi = \omega t + \varphi_0\,

con ω constante.

5 Triedro de Frenet

5.1 Vectores tangente y normal

Al estar la velocidad contenida en el plano de movimiento, el vector tangente estará contenido en el mismo plano y formará un cierto ángulo variable θ con el eje OX

\vec{T}=\cos(\beta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\beta)\vec{\jmath}

Al pasar el tiempo, este ángulo irá cambiando por lo que

\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\beta}\,\frac{\mathrm{d}\beta}{\mathrm{d}t}=\left(-\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}+\cos(\beta)\vec{\jmath}\right)\dot{\beta}

El primer factor es un vector unitario y ortogonal a \vec{T}, esto es, se trata del vector normal \vec{N}.

\vec{N}=-\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}+\cos(\beta)\vec{\jmath}

Nótese la similtud con la expresión de la base en coordenadas polares, que puede inducir a confusión. En coordenadas polares, \varphi es el ámgulo que el vector de posición forma con el eje OX. En el triedro intrínseco, β es el ángulo que la velocidad forma con dicho eje.

5.2 Vector binormal

Si multiplicamos vectorialmente el vector tangente y el vector normal obtenemos que el vector binormal es constante, como corresponde a un movimiento plano.

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}

5.3 Interpretación del radio y el centro de curvatura

Si particularizamos para el caso del movimiento plano, es fácil dar un significado geométrico al radio de curvatura.

De la derivada temporal del vector tangente obtenemos

\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t} = \dot{\beta}\vec{N}

pero en un movimiento plano, la rapidez con que varía un ángulo es una velocidad angular, que para un movimiento circular equivale a la velocidad lineal dividida por el radio

\dot{\beta}=\omega = \frac{|\vec{v}|}{R}

por lo que escribimos

\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t} = \frac{|\vec{v}|}{R}\vec{N}

El radio de curvatura, R, equivale entonces al radio de la circunferencia que, en un instante dado, está describiendo a la partícula, o para ser más precisos, la circunferencia que más se aproxima a la trayectoria en dicho instante (misma posición, misma velocidad y misma aceleración). Esta circunferencia tangente se denomina circunferencia osculatriz. Su centro es el centro de curvatura.

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