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Movimiento oscilatorio (G.I.T.I.)

De Laplace

Contenido

1 Elasticidad de un resorte

1.1 Ley de Hooke

1.2 Asociaciones de resortes

2 Movimiento de un oscilador armónico unidimensional

3 Solución en tres dimensiones

4 Análisis energético

En el caso del oscilador armónico unidimensional la solución general para la elongación y la velocidad puede escribirse en la forma

x = A \cos(\omega t+\phi)\,        v = -A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t + \phi)

A partir de aquí obtenemos la energía cinética

K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\mathrm{sen}^2(\omega t + \phi)

y la potencial

U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k A^2\cos^2(\omega t + \phi)
La energía mecánica del oscilador, teniendo en cuenta que k = mω2 es
E = K + U = \frac{1}{2}kA^2\left(\cos^2(\omega t+\phi)+\,\mathrm{sen}^2(\omega t + \phi)\right) = \frac{1}{2}kA^2

Resulta una energía mecánica, por supuesto constante, proporcional al cuadrado de la amplitud. Representando las energías cinética, potencial y mecánica frente al tiempo para el oscilador armónico vemos que las dos primeras son funciones oscilantes, mientras que la energía mecánica, suma de las dos, permanece constante. Desde el punto de vista energético, un oscilador armónico transforma alternativamente energía cinética en potencial y viceversa.

La frecuencia con la que oscila cada energía es el doble de la frecuencia con la que oscila la elongación. La energía potencial pasa de un máximo, cuando la elongación vale + A a valer 0, cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio, y de ahí vuelve aun máximo cuando x = − A.

5 Oscilaciones no lineales. Péndulo simple

6 Aproximación parabólica

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