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Movimiento de una mancuerna ideal

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Supongamos dos masas iguales m unidas por una barra rígida de longitud b, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. A una de las masas se le comunica una velocidad inicial \vec{v}_0 perpendicular a la línea de la barra, mientras que la otra se encuentra inicialmente en reposo. ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al CM y la energía cinética de la barra? ¿Cómo es el movimiento del sistema a partir de ese momento?

2 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento del sistema es la suma de los de las partículas que lo componen

\vec{p}=m_A\vec{v}_A+m_B\vec{v}_B=m\cdot \vec{0}+m(v_0\vec{\jmath})=mv_0\vec{\jmath}

Esto nos da la velocidad del CM

\vec{v}_G=\frac{\vec{p}}{m_T}=\frac{mv_0\vec{\jmath}}{2m}=\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}

3 Momento cinético

3.1 Respecto al CM

El momento cinético respecto al CM lo podemos calcular considerando el CM como un punto fijo o como un punto móvil. En ambos casos el resultado es el mismo.

3.1.1 Como un punto fijo

La expresión es

\vec{L}_G=m_A\overrightarrow{GA}\times\vec{v}_A+m_B\overrightarrow{GB}\times\vec{v}_B=m\left(-\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times \vec{0}+m\left(\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times (v_0\vec{\jmath})=\frac{mbv_0}{2}\vec{k}

3.1.2 Como punto móvil

Alternativamente, podemos calcular primero las velocidades respecto al CM

\vec{v}^{\prime}_A=\vec{v}_A-\vec{v}_G=-\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}^{\prime}_B=\vec{v}_B-\vec{v}_G=+\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}

y calcular el momento cinético empleando estas velocidades

\vec{L}^{\prime}_G=m_A\overrightarrow{GA}\times\vec{v}^{\prime}_A+m_B\overrightarrow{GB}\times\vec{v}^{\prime}_B=m\left(-\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times \left(-\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}\right)+m\left(\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times \left(+\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}\right)=\frac{mbv_0}{2}\vec{k}

3.1.3 Empleando el momento de inercia

Alternativamente, puede calcularse el momento cinético como

\vec{L}_G=I\vec{\omega}

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla por el CM es

I=m_A d_A^2+m_B d_B^2 = m\left(\frac{b}{2}\right)^2+m\left(\frac{b}{2}\right)^2=\frac{mb^2}{2}

y la velocidad angular la sacamos de

v_0\vec{\jmath}=\vec{v}_B=\vec{v}_A+\omega\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}+\omega \vec{k}\times(b\vec{\imath})\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}=\frac{v_0}{2}\vec{k}

Resulta el momento cinético

\vec{L}_G=I\vec{\omega}=\left(\frac{mb^2}{2}\right)
\left(\frac{v_0}{2}\vec{k}\right)=\frac{mbv_0}{2}\vec{k}

3.2 Respecto a un punto fijo

Para cualquier otro punto, puede hallarse a partir de la suma de los de las dos masas

\vec{L}_O=m_A\overrightarrow{OA}\times\vec{v}_A+m_B\overrightarrow{OB}\times\vec{v}_B

o bien empleando el teorema de König

\vec{L}_O=m_T\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G+\vec{L}_G\qquad\qquad (m_T=2m)

Así, para el propio extremo A,

\vec{L}_A=m(b\vec{\imath})\times(v_0\vec{\jmath})=mbv_0\vec{k}

Empleando aquí el teorema de König

\vec{L}_A=(2m)\left(\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times\left(\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}\right)+\frac{mbv_0}{2}\vec{k}=mbv_0\vec{k}

4 Energía cinética

La energía cinética la podemos hallar a partir de las de las partículas

K=\frac{1}{2}m_A|\vec{v}_A|^2+\frac{1}{2}m_B|\vec{v}_B|^2=\frac{1}{2}mv_0^2

o empleando el teorema de König

K=\frac{1}{2}m_T|\vec{v}_G|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2=\frac{1}{2}(2m)\left(\frac{v_0}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{mb^2}{2}\right)\left(\frac{v_0}{b}\right)=\frac{mv_0^2}{4}+\frac{mv_0^2}{4}=\frac{mv_0^2}{2}

Vemos que en este caso la energía se reparte mitad y mitad en traslación y rotación.

También se puede hallar la energía cinética a partir de la cantidad de movimiento y del momento cinético

K=\frac{1}{2}\vec{p}\cdot\vec{v}_G+\frac{1}{2}\vec{L}_G\cdot\vec{\omega}

Esta expresión se puede aplicar respecto a cualquier punto, no solo el CM. Así, empleando el punto AB

K=\frac{1}{2}\vec{p}\cdot\vec{v}_A+\frac{1}{2}\vec{L}_A\cdot\vec{\omega}=\frac{1}{2}(mv_0\vec{\jmath})\cdot\vec{0}+\frac{1}{2}(mbv_0\vec{k})\cdot(\frac{v_0}{b}\vec{k})=\frac{1}{2}mv_0^2

5 Movimiento posterior

Si no hay ninguna fuerza actuando sobre el sistema, se conserva la cantidad de movimiento y el momento cinético (y, por tanto, la energía cinética).

Esto implica que la velocidad del CM permanece constante, describiendo un movimiento rectilíneo y uniforme.

La velocidad angular también permanece constante, por lo que la varilla gira uniformemente.

El resultado, para cada una de las masas, es que el movimiento es una combinación de rotación y traslación, resultando un movimiento cicloidal.

Imagen:barrarotante.gif

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