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Movimiento de pistón central

De Laplace

1 Enunciado

Dos cámaras A y B con el mismo volumen de aire están separadas por un émbolo que puede moverse libremente. Las paredes y el émbolo están aislados térmicamente. Inicialmente las dos cámaras están en equilibrio. Se retira el aislante del émbolo. Una vez que se vuelve a alcanzar el equilibrio, el volumen de A es el doble que el de B.

Archivo:piston-central.png
  1. Antes de que se retirara el aislante, ¿qué proporción había entre las temperaturas de A y B?
  2. Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio, ¿qué proporción hay entre las densidades de masa del aire de ambas cámaras?

2 Proporción entre temperaturas

Antes de retirar el aislante, hay equilibrio mecánico, pero no térmico. Las presiones a ambos lados del pistón son iguales

p_{Ai}=p_{Bi}=p_i\,

Después de retirar el aislante hay equilibrio térmico y mecánico

T_{Af}=T_{Bf}=T_f\qquad\qquad p_{Af}=p_{Bf}=p_f

(la presión final no tiene por qué ser la misma que la inicial. Para cada una de las cámaras se cumple la ley de los gases ideales

\frac{p_{f} V_{Af}}{T_f}=\frac{p_{i} V_{Ai}}{T_{Ai}}\qquad\qquad \frac{p_{f} V_{Bf}}{T_f}=\frac{p_{i} V_{Bi}}{T_{Bi}}

Dividiendo una ecuación por la otra nos queda

\frac{V_{Af}}{V_{Bf}}=\frac{V_{Ai}}{V_{Bi}}\,\frac{T_{Bi}}{T_{Ai}}

En el estado inicial los volúmenes son iguales y en el final están en la proporción 2:1. Por tanto

2 = \frac{T_{Bi}}{T_{Ai}} \qquad\Rightarrow\qquad T_{Bi} = 2 T_{Ai}

3 Proporción entre densidades

La densidad de un gas ideal depende solo de su presión y su temperatura

\rho=\frac{p}{R_m T}

En el estado final las presiones a ambos lados son iguales y lo mismo ocurre con la temperatura. Por tanto, al tratarse de la misma sustancia, las densidades de masa a ambos lados son iguales.

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