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Movimiento circular alrededor de un eje (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula describe un movimiento circular uniforme alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas, siendo la velocidad angular constante \vec{\omega}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k} (rad/s). La posición inicial de la partícula es \overrightarrow{OA}=14\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-2\vec{k} (m). Para este movimiento, halle:

  1. La velocidad inicial de la partícula, así como la rapidez en dicho instante.
  2. La aceleración inicial de la partícula.
  3. Las componentes intrínsecas de la aceleración (escalares) en ese instante.
  4. El radio y el centro de curvatura del movimiento.
  5. La distancia recorrida por la partícula entre t = 0 s y t = 10 s

2 Velocidad y rapidez

2.1 Velocidad

\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}=(-12\vec{\imath}-24\vec{\jmath}-24\vec{k})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

2.2 Rapidez

|\vec{v}|=\sqrt{12^2+24^2+24^2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=36\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3 Aceleración

\vec{a}=\overbrace{\vec{\alpha}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA})=\vec{\omega}\times\vec{v}=(-72\vec{\imath}+72\vec{\jmath}-36\vec{k})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

4 Componentes intrínsecas

4.1 Aceleración tangencial

Por ser uniforme, at = 0

4.2 Aceleración normal

\vec{a}_n=\vec{a}=(-72\vec{\imath}+72\vec{\jmath}-36\vec{k})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

y

a_n=|\vec{a}_n|=108\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

5 Radio y centro de curvatura

5.1 Radio de curvatura

R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{36^2}{108}\,\mathrm{m}=12\,\mathrm{m}

5.2 Centro de curvatura

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=-\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}

y

\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=(14\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-2\vec{k})+12\left(-\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}\right)=(6\vec{\imath}+3\vec{\jmath}-6\vec{k})\,\mathrm{m}

6 Distancia recorrida

Por ser uniforme

\Delta s=|\vec{v}|\,\Delta t=360\,\mathrm{m}

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