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Movimiento a partir de una fuerza conocida

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula material de masa m parte del origen de coordenadas con velocidad \vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}, encontrándose sometida en todo momento a la fuerza dependiente de la posición

\vec{F}(x,y,z)=Az\vec{\imath}-By\vec{\jmath}+C\vec{k}

siendo \vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k} la posición instantánea de la partícula, y A, B y C constantes positivas conocidas.

Calcule la posición, velocidad y aceleración instantáneas de la partícula para todo instante de tiempo, t.

2 Solución

La segunda ley de Newton nos permite calcular la aceleración de la partícula para cada punto

\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{A}{m}z\vec{\imath}-\frac{B}{m}y\vec{\jmath}+\frac{C}{m}\vec{k}

La primera tentación, para hallar la posición en cada instante, es integrar dos veces

\vec{v}=\vec{v}_0+\int_0^t \vec{a}\,\mathrm{d}t\qquad\qquad\vec{r}=\vec{r}_0+\int_0^t \vec{v}\,\mathrm{d}t

Sin embargo, aunque estas fórmulas son correctas, no nos sirven de nada, ya que no conocemos la aceleración como función del tiempo, sino de la posición, que es lo que deseamos hallar.

Debemos, por fuerza, resolver la ecuación diferencial.

Un primer paso que nos puede ayudar a abordar el problema consiste en separar por componentes.

La aceleración, por definición, es la segunda derivada de la posición respecto al tiempo

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}+\ddot{z}\vec{k}

Igualando componente a componente nos queda el sistema de ecuaciones diferenciales

\ddot{x}=\frac{A}{m}z\qquad\qquad \ddot{y}=-\frac{B}{m}y\qquad\qquad \ddot{z}=\frac{C}{m}

Junto con las condiciones iniciales para la posición

\vec{r}(t=0) = \vec{0} \qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{l}x(t=0)=0\\ y(t=0)=0\\ z(t=0)=0\end{array}\right.

y la velocidad

\vec{v}(t=0) = v_0\vec{\jmath} \qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{l}\dot{x}(t=0)=0\\ \dot{y}(t=0)=v_0\\ \dot{z}(t=0)=0\end{array}\right.

La tentación, de nuevo, es calcular x(t) por una doble integración. Pero tampoco podemos hacerlo. Para integrar necesitamos conocer z(t), que aun no tenemos.

Componente z
¿Podemos hallar z(t) independientemente? Pues sí, ya que la ecuación de movimiento nos dice que la segunda derivada es una constante, lo que se puede integrar de forma inmediata para hallar la velocidad
\ddot{z}=\frac{C}{m}\qquad\Rightarrow\qquad \dot{z}=\overbrace{\dot{z}(t=0)}^{=0}+\int_0^t \frac{C}{m}\mathrm{d}t = \frac{C}{m}t
y de aquí la coordenada z
\dot{z}=\frac{C}{m}t\qquad\Rightarrow\qquad z=\overbrace{z(t=0)}^{=0}+\int_0^t \frac{C}{m}t\mathrm{d}t = \frac{C}{2m}t^2
Componente x
Una que conocemos z(t) ya sí podemos sustituir en la ecuación para x e integrar una primera vez
\ddot{x}=\frac{A}{m}z=\frac{AC}{2m}t^2\qquad\Rightarrow\qquad \dot{x}=\overbrace{\dot{x}(t=0)}^{=0}+\int_0^t \frac{AC}{2m^2}t^2\mathrm{d}t = \frac{AC}{6m}t^3
y una segunda
\dot{x}=\frac{AC}{6m^2}t^3\qquad\Rightarrow\qquad x=\overbrace{x(t=0)}^{=0}+\int_0^t \frac{AC}{6m^2}t^3\mathrm{d}t = \frac{AC}{24m^2}t^4
Componente y
La componente y va “por libre” en el sentido de que su ecuación de movimiento no está acoplada con ninguna otra componente
\ddot{y} = -\frac{B}{m}y\qquad y(t=0)=0\qquad \dot{y}(t=0)=v_0
Podemos buscar soluciones a esta ecuación, pero no hace falta que partamos de 0. Debemos aprovechar lo que ya sabemos de cinemática de la partícula. Esta es la ecuación de un movimiento armónico simple, si llamamos
\omega^2 = \frac{B}{m}\qquad \Rightarrow\qquad \ddot{y}=-\omega^2y
y la solución de esta ecuación es
y = \overbrace{y_0}^{=0}\cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t) = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\qquad \omega = \sqrt{\frac{B}{m}}

Una vez que tenemos las tres componentes, podemos reunirlas de nuevo y escribir el vector de posición como función del tiempo

\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}=\frac{AC t^4}{24m^2}\vec{\imath}+\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}+\frac{Ct^2}{2m}\vec{k}

Derivando en esta expresión respecto al tiempo obtenemos la velocidad como función del tiempo.

\vec{v}=\frac{AC t^3}{6m^2}\vec{\imath}+v_0\cos(\omega t)\vec{\jmath}+\frac{Ct}{m}\vec{k}

y derivando una vez más, la aceleración como función del tiempo

\vec{a}=\frac{AC t^2}{2m^2}\vec{\imath}-v_0\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}+\frac{C}{m}\vec{k}

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